|
Feladat: |
Gy.2974 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Ács Gábor , Bérczi Gergely , Csikvári András , Deli Tamás , Demkó László , Frenkel Péter , Gáspár László , Hangya Balázs , Nyakas Péter , Nyul Gábor , Papp Beáta Andrea , Szentiványi Eszter , Zöldy Balázs |
Füzet: |
1996/január,
15 - 16. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Prímszámok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/március: Gy.2974 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egyenletet átalakítva: | | (1) | A prímszámok ‐ a szokásos értelmezés szerint ‐ pozitívak (a negatív számokat is megengedő esetre majd még külön kitérünk), ezért az (1) jobb oldalán levő második tényező pozitív, és így az első is az. Emiatt , vagyis szorzattá alakítása csak a következő módon történhet: | | Több eset azért nem lehetséges, mert és . Vizsgáljuk az első lehetőséget. Ekkor Mivel prím és , azért ez csak úgy teljesülhet, ha és . Ebből , következik; ezt visszaírva adódik, ami azt jelenti, hogy ebben az esetben nincs megoldás. Tekintsük most a másikat. Az első egyenletből . Ebből az előzőhöz hasonló meggondolással kapjuk, hogy és . Látható, hogy és ellentétes paritású, ezért vagy . Az eset nem lehetséges, mert akkor adódna. Tehát és így . Ezt visszaírva az eredeti egyenletbe: vagyis ezúttal sem kaptunk megoldást. Azt már láttuk, hogy ha csak pozitív számokat tekintünk prímeknek, akkor az egyenletnek nincs megoldása. A teljesség kedvéért engedjük meg a negatív esetet is (a pontozásnál ennek az elhagyása persze nem jelentett levonást). A megoldhatóság során továbbra is feltehető, hogy , , hiszen ha így nincs megoldás, akkor negatív vagy mellett sincs. Legyen tehát , , ; ekkor Itt az látható, hogy , s így következő szorzattá alakításai lehetségesek: | | Az előbbit tekintve, miatt és közül az egyik páros. Ha , akkor , ami nem prím; míg esetén , ezt visszahelyettesítve , ez sem vezetett megoldáshoz. Vizsgáljuk a másik szorzattá alakítási lehetőséget: alapján . Itt , , és prím, ezért ez csak úgy állhat fönn, ha , . Ekkor és közül valamelyik páros: esetén , visszaírva , ami nem négyzetszám; esetén , nem prím. Ezzel teljes mértékben igazoltuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása.
Nyakas Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján |
|
|