Feladat: Gy.2974 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ács Gábor ,  Bérczi Gergely ,  Csikvári András ,  Deli Tamás ,  Demkó László ,  Frenkel Péter ,  Gáspár László ,  Hangya Balázs ,  Nyakas Péter ,  Nyul Gábor ,  Papp Beáta Andrea ,  Szentiványi Eszter ,  Zöldy Balázs 
Füzet: 1996/január, 15 - 16. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/március: Gy.2974

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet átalakítva:

y3=z4-x2=(z2-x)(z2+x).(1)
A prímszámok ‐ a szokásos értelmezés szerint ‐ pozitívak (a negatív számokat is megengedő esetre majd még külön kitérünk), ezért az (1) jobb oldalán levő második tényező pozitív, és így az első is az. Emiatt z2+x>z2-x>0, vagyis y3 szorzattá alakítása csak a következő módon történhet:
z2+x=y3z2-x=1vagyz2+x=y2z2-x=y.
Több eset azért nem lehetséges, mert y3>y2>y>1 és z2+x>z2-x>0.
Vizsgáljuk az első lehetőséget. Ekkor
x=z2-1=(z-1)(z+1).
Mivel x prím és z+1>z-1>0, azért ez csak úgy teljesülhet, ha z+1=x és z-1=1. Ebből z=2, x=3 következik; ezt visszaírva
y3=24-32=7
adódik, ami azt jelenti, hogy ebben az esetben nincs megoldás.
Tekintsük most a másikat. Az első egyenletből x=y2-z2=(y-z)(y+z). Ebből az előzőhöz hasonló meggondolással kapjuk, hogy y+z=x és y-z=1. Látható, hogy y és z ellentétes paritású, ezért y=2 vagy z=2. Az y=2 eset nem lehetséges, mert akkor z=1 adódna. Tehát z=2 és így y=3. Ezt visszaírva az eredeti egyenletbe:
x2=24-33=16-27=-11,
vagyis ezúttal sem kaptunk megoldást.
Azt már láttuk, hogy ha csak pozitív számokat tekintünk prímeknek, akkor az egyenletnek nincs megoldása. A teljesség kedvéért engedjük meg a negatív esetet is (a pontozásnál ennek az elhagyása persze nem jelentett levonást). A megoldhatóság során továbbra is feltehető, hogy x, z>0, hiszen ha így nincs megoldás, akkor negatív x vagy z mellett sincs.
Legyen tehát y<0, x, z>0; ekkor
y3=(z2-x)(z2+x).
Itt az látható, hogy |z2+x|>|z2-x|, s így y3 következő szorzattá alakításai lehetségesek:
z2+x=-y3z2-x=-1vagyz2+x=y2z2-x=y.
Az előbbit tekintve, x=z2+1 miatt x és z közül az egyik páros. Ha x=2, akkor z=1, ami nem prím; míg z=2 esetén x=5, ezt visszahelyettesítve y3=24-52=-9, ez sem vezetett megoldáshoz.
Vizsgáljuk a másik szorzattá alakítási lehetőséget: x2+x=y2 alapján x=y2-z2=(y-z)(y+z). Itt y<0, z>0, x>0 és prím, ezért ez csak úgy állhat fönn, ha y-z=-x, y+z=-1. Ekkor y és z közül valamelyik páros: z=2 esetén y=-3, visszaírva x2=24+33=43, ami nem négyzetszám; y=-2 esetén z=1, nem prím.
Ezzel teljes mértékben igazoltuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása.
 Nyakas Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján