A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megjegyzés. A feladat sajnos nem abban a formában jelent meg, amelyben a kitűzője szerette volna. Eredetileg a második mondat így szólt volna: Van-e olyan pont, amelyen pontosan két területfelező egyenes megy át? A kitűzött formában a feladat inkább az N., mint a Gy. jelű példák közé illik. A feladat teljes megoldása megtalálható D. O. Skljarszkij‐N. N. Csencov‐I. M. Jaglom: Válogatott feladatadatok és tételek az elemi matematika köréből című könyve 2/1 kötetének 72‐74. oldalán. Az általunk itt közölt megoldásvázlat is ezen alapul.
Megoldás. Ismert, hogy egy szögtartományból egyenlő területű háromszögeket lemetsző egyenesek egy olyan hiperbola érintői, amelynek a szögszárak egyenesei az aszimptotái. Ezért azok az egyenesek, amelyek az háromszög területét felezik és a háromszög oldalai közül -t és -t metszik, egy olyan hiperbolának az érintői, amelynek aszimptotái a és a egyenesek. -nek három érintőjét könnyen megadhatjuk. Ezek a háromszög -hoz és -hez tartozó súlyvonalai, valamint az -vel párhuzamos, a -hez tartozó magasságot arányban osztó egyenes. Ezek nyilvánvalóan felezik a háromszög területét. Ez a három érintő és a két aszimptota egyértelműen meghatározza -t. Ugyanígy kapjuk az ábrán látható és hiperbolákat is. érintői közül azok felezik a háromszög területét, amelyek a háromszögnek a és a oldalát is metszik. Ezek azok az érintők, amelyek -nek a ívét érintik. (Egyszerű számolással belátható, hogy , és éppen a megfelelő súlyvonalak felezőpontjai.) Ugyanígy és érintői közül azok felezik a területet, amelyek a , illetve a ívet érintik. Egy ponton át tehát annyi területfelező egyenes megy, ahány hiperbolaívhez lehet az adott pontból érintőt húzni. A , és hiperbolaívek belső pontjaiból a három ív közül pontosan kettőhöz húzhatunk érintőt, míg más pontokból vagy egyhez, vagy mindháromhoz (a háromszögszerű alakzat belső pontjaiból). Tehát a három hiperbolaív alkotja a keresett halmazt.
|
|