Feladat: Gy.2972 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fejős Ibolya ,  Pintér Dömötör 
Füzet: 1996/február, 80 - 81. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hiperbola, mint mértani hely, Súlyvonal, Súlypont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/február: Gy.2972

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megjegyzés. A feladat sajnos nem abban a formában jelent meg, amelyben a kitűzője szerette volna. Eredetileg a második mondat így szólt volna: Van-e olyan pont, amelyen pontosan két területfelező egyenes megy át? A kitűzött formában a feladat inkább az N., mint a Gy. jelű példák közé illik. A feladat teljes megoldása megtalálható D. O. Skljarszkij‐N. N. Csencov‐I. M. Jaglom: Válogatott feladatadatok és tételek az elemi matematika köréből című könyve 2/1 kötetének 72‐74. oldalán. Az általunk itt közölt megoldásvázlat is ezen alapul.

 
Megoldás. Ismert, hogy egy szögtartományból egyenlő területű háromszögeket lemetsző egyenesek egy olyan hiperbola érintői, amelynek a szögszárak egyenesei az aszimptotái. Ezért azok az egyenesek, amelyek az ABC háromszög területét felezik és a háromszög oldalai közül AB-t és BC-t metszik, egy olyan HB hiperbolának az érintői, amelynek aszimptotái a BA és a BC egyenesek. HB-nek három érintőjét könnyen megadhatjuk. Ezek a háromszög A-hoz és C-hez tartozó súlyvonalai, valamint az AC-vel párhuzamos, a B-hez tartozó magasságot 12:(1-12) arányban osztó egyenes. Ezek nyilvánvalóan felezik a háromszög területét. Ez a három érintő és a két aszimptota egyértelműen meghatározza HB-t. Ugyanígy kapjuk az ábrán látható HA és HC hiperbolákat is.
HB érintői közül azok felezik a háromszög területét, amelyek a háromszögnek a BA és a BC oldalát is metszik. Ezek azok az érintők, amelyek HB-nek a PR ívét érintik. (Egyszerű számolással belátható, hogy P, Q és R éppen a megfelelő súlyvonalak felezőpontjai.) Ugyanígy HA és HC érintői közül azok felezik a területet, amelyek a QR, illetve a PR ívet érintik. Egy ponton át tehát annyi területfelező egyenes megy, ahány hiperbolaívhez lehet az adott pontból érintőt húzni.
A PQ, QR és RP hiperbolaívek belső pontjaiból a három ív közül pontosan kettőhöz húzhatunk érintőt, míg más pontokból vagy egyhez, vagy mindháromhoz (a PQR háromszögszerű alakzat belső pontjaiból). Tehát a három hiperbolaív alkotja a keresett halmazt.