Kezdőlap


Feladat:	Gy.2969	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna , Fazekas Borbála , Gyenes Zoltán , Gyurkó L. Gergely , Hangya Balázs , Katona Zsolt , Király Csaba , Lippner Gábor , Mátrai Tamás , Méder Áron , Nyakas Péter , Pap Gyula , Peltz Csaba , Pogány Ádám , Puskás Péter , Reviczky Ágnes , Rozmán András , Ruzsa Gábor , Tóth Ádám , Tóth Gábor Zsolt , Várady Gergő , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: Gy.2969

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a_{2 n} - a_{n} = n$ feltételből következik, hogy $a_{2 n}$ és $a_{n}$ közé $n - 1$ egész szám esik. Ugyanakkor a sorozatnak is éppen ennyi eleme található köztük, s mivel a sorozat egészekből áll és szigorúan növő, ez csak úgy lehet, ha a sorozat $a_{n}$ és $a_{2 n}$ között egyesével novekszik. Ez azonban minden $n$ -re igaz, így szükségképpen

\begin{matrix} a_{n} = a_{1} + n - 1. \end{matrix}

a_{0} = a_{1} - 1

jelölést bevezetve,

a_{n} = a_{0} + n

.
Megmutatjuk, hogy

a_{0}

minden számmal osztható, vagyis

a_{0} = 0

. Tételezzük fel ugyanis, hogy valamely

q

prímszámra

q ∤ a_{0}

, s így

a_{0} \neq 0

. Legyen először

a_{0} > 0

. Válasszunk egy

p > (a_{0} + 1) q

prímet. Ekkor a

p = a_{p - a_{0}}

egyenlőség miatt

p - a_{0}

is prím, majd ezt folytatva

p - 2 a_{0}

...

p - (q - 1) a_{0} > a_{0} q + q - q a_{0} + a_{0} > q

is az. Ez

q

darab prímszám, amelyek

q

-val nem lehetnek oszthatók, lévén nagyobbak nála; létezik köztük kettő, amelyek különbsége osztható

q

-val:

\begin{matrix} q ∣ (p - i a_{0}) - (p - j a_{0}) = (j - i) a_{0} . \end{matrix}

Mivel

(q, a_{0}) = 1

, azért

q ∣ (j - i)

, holott

0 < j - i < q - 1

, ami ellentmondás.
Ha pedig

a_{0} < 0

, akkor ugyanez a gondolatmenet a

p

p + a_{0}

...

p + (q - 1) a_{0}

sorozatra alkalmazható. Más eset nincs, így tehát azt kaptuk, hogy egyedül

a_{n} = n

lehetséges, ami viszont nyilván jó is.

Méder Áron (Budapest, Táncsics M. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján