Kezdőlap


Feladat:	Gy.2967	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Bozsaky Tamás , Czirok Levente , Fejős Ibolya , Nagy Endre , Néveri Richárd , Paál Krisztina , Pap Gyula , Terpai Tamás
Füzet:	1996/január, 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: Gy.2967

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $0 \leq x_{i} \leq 1$ , azért

\begin{matrix} x_{i}^{2} \leq x_{i} . \end{matrix}

(1)

Ezt

i

szerint összegezve:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ... + x_{n}^{2} \leq x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}

. Elég tehát azt igazolni, hogy

{(x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} + 1)}^{2} \geq 4 (x_{1} + x_{2} + ... + x_{n})

. Ennek belátásához vezessük be az

S = x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}

jelölést. Ezzel a bizonyítandó egyenlőtlenség így írható:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(S + 1)}^{2} & \geq 4 S \\ S^{2} - 2 S + 1 & \geq 0 \\ {(S - 1)}^{2} & \geq 0. & (2) \end{matrix} \end{matrix}

Az utolsó egyenlőtlenség nyilvánvaló, amiből gondolatmenetünk alapján következik az állítás.
Vizsgáljuk meg az egyenlőség feltételeit! (1)-nél ez csak akkor lehet, ha

x_{i} = 0

vagy

1

; (2)-nél pedig akkor, ha

S = 1

. Ez együttvéve azt jelenti, hogy a számok között van egy egyes és a többi nulla.

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 8. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A ,,nulla és egy közé eső valós számok'' feltételt értelmezhetjük esetleg úgy, hogy

0 < x_{i} < 1

, ekkor nem állhat fönn egyenlőség.