Kezdőlap


Feladat:	Gy.2966	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Czirok Levente , Juhász András , Lippner Gábor , Pap Gyula , Papp Ágnes , Penkalo Alex , Rózsás Balázs , Simon Barna , Szabó Anett , Szabó Gábor , Szépszó Gabriella , Szőts Zoltán , Tóth Szabolcs , Újhelyi Tamara
Füzet:	1996/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: Gy.2966

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be az

\begin{matrix} y^{2} = x^{2} + 19 x + 95 \end{matrix}

jelölést. Az így nyert egyenletből fejezzük ki

x

-et:

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{- 19 \pm \sqrt[]{19^{2} - 4 \cdot (95 - y^{2})}}{2} = \frac{- 19 \pm \sqrt[]{4 y^{2} - 19}}{2} . \end{matrix}

(1)

A feltételek szerint

x

y

egészek, ami csak úgy lehetséges, ha

\sqrt[]{4 y^{2} - 19}

is az, vagyis

4 y^{2} - 19

négyzetszám. Értékét

z^{2}

-tel jelölve (ahol

z

nemnegatív egész),

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 y^{2} - z^{2} & = 19 \\ (2 y + z) (2 y - z) & = 19. \end{matrix} \end{matrix}

Itt

y

z

egészek, ezért

2 y + z

és

2 y - z

is osztója 19-nek, azaz lehetséges értékeik:

\pm 1

\pm 19

. Mivel

z \geq 0

, így

2 y + z \geq 2 y - z

. Ezek szerint

2 y + z

értéke 19 vagy

- 1

. Ezt a két esetet végigszámolva:

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 2 y + z & = 19 \\ 2 y - z & = 1 \end{matrix}} \Rightarrow 4 y = 20 \Rightarrow y = 5, z = 9 \\ \begin{matrix} 2 y + z & = - 1 \\ 2 y - z & = - 19 \end{matrix}} \Rightarrow 4 y = - 20 \Rightarrow y = - 5, z = 9. \end{matrix} \end{matrix}

Visszahelyettesítve (1)-be,

\begin{matrix} x = \frac{- 19 \pm \sqrt[]{4 \cdot 5^{2} - 19}}{2} = \frac{- 19 \pm \sqrt[]{81}}{2} = < \begin{matrix} - 5 \\ - 14. \end{matrix} \end{matrix}

Ez a két szám valóban megfelelő, és a gondolatmenet mutatja, hogy más nem lehetséges.

Penkalo Alex (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Egy másik megoldási módszer lehet a következő. Az

x^{2} + 19 x + 95 = {(x + 9)}^{2} + x + 14 = {(x + 10)}^{2} - x - 5

összefüggés mutatja, hogy

x > - 5

esetén

{(x + 9)}^{2} < x^{2} + 19 x + 95 < {(x + 10)}^{2}

, míg

x < - 14

mellett

{(x + 10)}^{2} < x^{2} + 19 x + 95 < {(x + 9)}^{2}

. Ennek alapján csak

x = - 14

- 13

...

- 5

lehet, amiből pedig csak a két szélső bizonyul jónak.

Juhász András (Fővárosi Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 8. o.t.) dolgozata alapján