Megmutatjuk, hogy ha két konvex sokszög közül az egyik a belsejében tartalmazza a másikat, akkor a belsőnek kisebb a kerülete.
Válasszuk ki a belső sokszög egy tetszőleges oldalát. Ennek egyenese két részre vágja a külső sokszöget, amelyek közül az egyik rész tartalmazza a belső sokszöget. (Itt használjuk ki a belső sokszög konvex voltát, ugyanis konvex sokszögre igaz, hogy tetszőleges oldalegyenese által meghatározott két félsík közül az egyik teljes egészében tartalmazza a sokszöget, míg ugyanez konkáv sokszögre nem teljesül ‐ lásd az 1. ábrát.) A két részre vágott külső sokszög mindkét részének kerülete kisebb, mint az eredeti külső sokszög kerülete, mert ‐ a 2. ábra jelöléseivel ‐ mindkét részre igaz, hogy az $X$ és $Y$ pontokat összekötő töröttvonalat az $XY$ szakasszal helyettesítettük. Így tehát egy, az eredetinél kisebb kerületű konvex sokszöget kaptunk, ami tartalmazza az eredeti belső sokszöget (a két sokszögnek közös határpontjai vannak, de ez a bizonyítást nem befolyásolja.) Folytassuk az eljárást az ,,új'' külső sokszöggel és az eredeti belső sokszög többi oldalegyenesével. Véges sok lépés után a külső sokszög kerületének folyamatos csökkentésével a külsőből a belső sokszögbe jutunk. Tehát a belső sokszög kerülete kisebb a külsőénél. (A bizonyítás során a külső sokszög konvexitását nem használtuk ki, ha az konkáv, akkor is igaz az állítás.)
Eredeti feladatunkra visszatérve: mivel minden háromszög konvex, azért a feladat állítása két háromszögre mindig igaz; két négyszögre pedig, ha a belső konvex, akkor igaz az állítás, de ha a belső konkáv, akkor az egyenlőtlenség nem feltétlenül teljesül. Erre egy példát adunk a 3. ábrán.