Feladat: Gy.2961 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gröller Ákos ,  Makai Márton ,  Németh Balázs ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1995/október, 412 - 413. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/január: Gy.2961

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

s az x, y+1x, 1y számok legkisebbike, ezért

s≤x,s≤y+1x,s≤1y(és legalább egy helyen egyenlőség áll).
Az első és a harmadik egyenlőtlenség reciprokából (x>0, y>0 miatt s szintén pozitív)
1x≤1s,y≤1s.
Ezeket a másodikba helyettesítve
s≤y+1x≤1s+1s=2s,
vagyis (ismét s>0 alapján)
s2≤2teháts≤2.
Vizsgáljuk meg, hogy felveheti-e s ezt az értéket, és ha igen, mikor. Látható, hogy egyenlőség esetén
y+1x=s,1x=1s,y=1s,
így x=2, y=12. Ekkor viszont valóban egyenlőség áll:
x=1y=y+1x=12+12=2.

 Makai Márton (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. Az x1=x, x2=1y jelöléssel (x1, x2>0)
s=min(x1,x2,1x1+1x2).
Hasonlóan képezhető tetszőleges pozitív x1, ..., xn számokból
sn=min(x1,x2,...,xn,1x1+1x2+...+1xn)
is, és a fenti megoldás mintájára egyszerűen igazolható, hogy sn legnagyobb lehetséges értéke n, és ezt az x1=x2=...=xn=n esetben veszi föl.
 Németh Balázs (Bp., Szent István Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján