Kezdőlap


Feladat:	Gy.2959	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deli Tamás , Kalfmann Petra , Pálóczi Anita , Rózsás Balázs
Füzet:	1995/november, 478 - 479. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/január: Gy.2959

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a feladatban szereplő kifejezést $S$ -sel. Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} S & = 256^{2 n} \cdot 7^{2 n} - 168^{2 n} - 32^{2 n} + 3^{2 n} = \\ = {(2^{8})}^{2 n} \cdot 7^{2 n} - {(2^{3})}^{2 n} \cdot 7^{2 n} \cdot 3^{2 n} - {(2^{5})}^{2 n} + 3^{2 n} = \\ = {(2^{3})}^{2 n} \cdot 7^{2 n} \cdot ({(2^{5})}^{2 n} - 3^{2 n}) - ({(2^{5})}^{2 n} - 3^{2 n}) = \\ = ({(2^{3})}^{2 n} \cdot 7^{2 n} - 1) ({(2^{5})}^{2 n} - 3^{2 n}) = (56^{2 n} - 1) \cdot (32^{2 n} - 3^{2 n}) . \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} a^{2 n} - b^{2 n} & = (a^{2} - b^{2}) (a^{2 n - 2} + a^{2 n - 4} \cdot b^{2} + ... + b^{2 n - 2}) = & A közismert \\ = (a - b) (a + b) (a^{2 n - 2} + a^{2 n - 4} \cdot b^{2} + ... + b^{2 n - 2}) \end{matrix} \end{matrix}

azonosság mutatja, hogy

a + b ∣ a^{2 n} - b^{2 n}

, és így

\begin{matrix} 56 + 1 = 57 ∣ 56^{2 n} - 1; 32 + 3 = 35 ∣ 32^{2 n} - 3^{2 n} . \end{matrix}

Az 57 és a 35 egymáshoz relatív prímek, ezért szorzatuk osztója az előbbi két tényező szorzatának; vagyis

\begin{matrix} 35 \cdot 57 = 1995 ∣ S . \end{matrix}

Rózsás Balázs (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján