Feladat: Gy.2958 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Deli Tamás 
Füzet: 1995/október, 411 - 412. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Halmazok számossága, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/január: Gy.2958

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A, B, C halmazokat ábrázoljuk Venn-diagrammal, az egyes halmazrészekbe írt változók (x1, x2, ..., x7) jelöljék az oda eső elemek számát. Írjuk föl a feltételeket csak ezek segítségével:

|A|=x1+x4+x6+x7=400,(1)|B|=x2+x4+x5+x7=300,(2)|C|=x3+x5+x6+x7=400,(3)|A∩B|=x4+x7=50,(4)|A∩C|=x6+x7=100.(5)
(5)-ből x6=100-x7, (4)-ből x4=50-x7. Ezeket (3)-ba helyettesítve
400=x3+x5+100-x7+x7=100+x3+x5,
azaz
x3=300-x5.(6)
(2)-ből
300=x2+50-x7+x5+x7=x2+x5+50,
vagyis
x2=250-x5.(7)
Végül (1) alapján
400=x1+50-x7+100-x7+x7=150+x1-x7,
így
x1=250+x7.(8)

Sikerült tehát x5 és x7 segítségével az összes többi változót kifejeznünk. Az, hogy ezek mindegyikének nemnegatív egésznek kell lennie, a következő feltételeket jelenti x5-re és x7-re:
0≤x7; (5)-ből 100≥x7; 0≤x5; (4)-ből 50≥x7; (6)-ból 300≥x5; (7)-ből 250≥x5; (8)-ból -250≤x7; x5, x7 egészek.
Összefoglalva, 0≤x7≤50, 0≤x5≤250 és egészek.
Ugyanakkor
|A∪B∪C|=x1+x2+...+x7==250+x7+250-x5+300-x5+50-x7+x5+100-x7+x7=950-x5,
így ez akkor maximális, ha x5 minimális, és fordítva. Tehát 700≤|A∪B∪C|≤950, és az egyenlőségekre a 2. és 3. ábra mutat példát.
 Deli Tamás (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján