|
Feladat: |
F.3097 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Csávás Csaba , Elek Péter , Gyukics Mihály , Horváth Gábor , Makai Márton , Péter Zsolt , Sánta Zsuzsa , Szobonya László , Terpai Tamás , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1996/április,
221 - 222. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Húrnégyszögek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/december: F.3097 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feladat megoldásához szükségünk lesz egy egyszerű ismeretre. A szokásos jelölésekkel a háromszög területe kétféleképpen fölírva: . Ebből Az ábra jelöléseit használva alkalmazzuk (1)-et az és háromszögekre: | | (2) | A feladat feltétele és (2) szerint , amiből Mivel a kör átmérője , , amiből (3) alapján . Ismeretes, hogy pozitív szám és reciprokának összege legalább , ezért előbbi eredményünkkel . Ez akkor és csak akkor lehetséges, ha . Ebből az is látható, hogy , és , egybeesik a kör középpontjával. De akkor és a kör két egymásra merőleges átmérője, amiből következik, hogy négyzet.
Horváth Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o.t.) |
II. megoldás. A négyszög oldalai nemnegatív számok, ezért a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint: . A Ptolemaiosz-tétel alapján: . Két megállapításunk és a feladat feltétele szerint: , ahol felhasználtuk azt is, hogy és . A fölírt relációk csak úgy teljesülhetnek, ha mindenütt egyenlőség érvényes, vagyis | | (1)-ből következik, hogy és átmérők, tehát legalább téglalap. A téglalapban és , de akkor (2)-ből , azaz . Ezért ebben a téglalapban a szomszédos oldalak is egyenlők, tehát négyzet. Könnyű látni, hogy oldallal a megoldás létezik és ekkor a feltételben egyenlőség áll fenn.
Szobonya László (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) |
Megjegyzés. Szobonya László megmutatta, hogy ha az egységsugarú körbe írt konvex -szög oldalainak szorzata nagyobb vagy egyenlő, mint , akkor az -szög szabályos, és a feltételben egyenlőség lesz. Feladatunk ennek az általánosabb problémának -re adódó speciális esete.
|
|