Kezdőlap


Feladat:	F.3096	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Csávás Csaba , Elek Péter , Eöri János , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Gyukics Mihály , Horváth Gábor , Jakabfy Tamás , Kocsis Zoltán , Kutalik Zoltán , Lakatos Roland , Lippner Gábor , Makai Márton , Mátrai Tamás , Pintér Dömötör , Prause István , Sánta Zsuzsa , Szente Márk Zsombor , Szobonya László , Szőnyi Amira , Várkonyi Péter , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/május, 284 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: F.3096

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételek alapján a polinom felírható $f (x) = {(x - 1)}^{8} (a x^{2} + b x + c)$ alakban, ahol $a$ , $b$ és $c$ valós számok, valamint $a \neq 0$ . A műveleteket elvégezve

\begin{matrix} \begin{matrix} f (x) = a x^{10} & + (b - 8 a) x^{9} + (c - 8 b + 28 a) x^{8} + (- 8 c + 28 b - 56 a) x^{7} + \\ + (28 c - 56 b + 70 a) x^{6} + (- 56 c + 70 b - 56 a) x^{5} + (70 c - 56 b + 28 a) x^{4} + \\ + (- 56 c + 28 b - 8 a) x^{3} + (28 c - 8 b + a) x^{2} + (- 8 c + b) x + c . \end{matrix} \end{matrix}

Az együtthatók között szerepel az

a

, a

c

és a

b - 8 a

, ezért ezeknek egészeknek kell lenniük; tehát

a

c

és

b = (b - 8 a) + 8 a

is egészek.
Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben mindegyik együttható abszolút értéke kisebb, mint 28. Írjuk fel ezt a negyed-, ötöd-, és hatodfokú tag együtthatójára, és osszunk 14-gyel:

\begin{matrix} | 5 c - 4 b + 2 a | < 2, | - 4 c + 5 b - 4 a | < 2, | 2 c - 4 b + 5 a | < 2. \end{matrix}

Mivel egész számokról van szó, ez azt jelenti, hogy mindhárom érték legfeljebb 1. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} 3 | 3 c - 3 b + 2 a | & = | (5 c - 4 b + 2 a) - (- 4 c + 5 b - 4 a) | \leq \\ \leq | (5 c - 4 b + 2 a) | + | (- 4 c + 5 b - 4 a) | \leq 2 \\ és \\ 3 | 2 c - 3 b + 3 a | & = | (2 c - 4 b + 5 a) - (- 4 c + 5 b - 4 a) | \leq \\ \leq | (2 c - 4 b + 5 a) | + | (- 4 c + 5 b - 4 a) | \leq 2. \end{matrix} \end{matrix}

Ismét az egész-értékűség miatt ez akkor teljesülhet csak, ha

3 c - 3 b + 2 a = 0

és

2 c - 3 b + 3 a = 0

. Ennek a két számnak a különbsége,

c - a

is 0, tehát

a = c

, valamint

b = (3 c + 2 a) / 3 = \frac{5}{3} a

.
Tekintsük most a hetedfokú tagot. Az indirekt feltevés szerint

| 8 c - 28 b + 56 a | < 28

. Behelyettesítve legutóbbi eredményeinket,

| 8 a - 28 \cdot \frac{5}{3} a + 56 a | = \frac{52}{3} | a | < 28

, vagyis

| a | < \frac{21}{13} < 2

. Ez azt jelenti, hogy

a

értéke csak

+ 1

vagy

- 1

lehet. Ekkor viszont

b = \frac{5}{3} a

nem egész. Az indirekt feltevés tehát ellentmondásra vezetett.

Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.)

Megjegyzések. 1. Létezik olyan 10-edfokú, egész együtthatós polinom, amelynek az 1 nyolcszoros gyöke, és minden együttható abszolút értéke legfeljebb 28, például

\begin{matrix} f (x) = {(x - 1)}^{8} (x^{2} + 2 x + 1) . \end{matrix}

2. Többen a polinomot

a {(x - 1)}^{8} (x - b) (x - c)

alakban keresték. A polinomnak azonban nem feltétlenül létezik még két valós gyöke, sőt, ha léteznek is, nem biztos, hogy egészek.