Kezdőlap


Feladat:	F.3095	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor , Czirok Levente , Elek Péter , Kutalik Zoltán , Lichtneckert Zoltán , Pintér Dömötör
Füzet:	1996/április, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmonikus közép, Számtani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: F.3095

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjunk mindegyik tört számlálójába $a b c$ -t:

\begin{matrix} \frac{a b c}{a^{2} (b + c)} + \frac{a b c}{b^{2} (c + a)} + \frac{a b c}{c^{2} (a + b)} \geq \frac{3}{2} . \end{matrix}

(Ennek a lépésnek az az előnye, hogy minden egyes törtben a számláló és a nevező is csupa harmadfokú tagból áll, s nincs szükség többé az

a b c = 1

feltételre.)
Egyszerűsítsünk és bontsuk fel a zárójeleket:

\begin{matrix} \frac{b c}{a b + a c} + \frac{a c}{b c + a b} + \frac{a b}{a c + b c} \geq \frac{3}{2} . \end{matrix}

Ezzel a bizonyítandó állítást visszavezettük arra az ismert feladatra, hogy tetszőleges pozitív

x

y

z

valós számokra

\begin{matrix} \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2} . \end{matrix}

(A mi esetünkben

x = b c

y = a c

z = a b

.)
Növeljük mindhárom törtet

1

-gyel, hogy a számlálójuk megegyezzen, és alkalmazzuk rájuk a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{\frac{x + y + z}{y + z} + \frac{x + y + z}{z + x} + \frac{x + y + z}{x + y}}{3} \geq \frac{3}{\frac{y + z}{x + y + z} + \frac{x + z}{z + y + x} + \frac{x + y}{x + y + z}} = \frac{3}{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = \frac{x + y + z}{y + z} + \frac{x + y + z}{z + x} + \frac{x + y + z}{x + y} - 3 \geq \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Ezzel az állítást igazoltuk.

Kutalik Zoltán (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján