Feladat: F.3094 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Lolbert Tamás ,  Pintér Dömötör ,  Szabó Jácint ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1996/március, 163 - 164. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Irracionális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/december: F.3094

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

c=0 esetén b=-a szolgáltatja az összes megoldást. Az a=0 (b=0) esetben c=b (c=a) adja a megoldásokat. Egyébként feltehető, hogy a, b, c egyike sem 0. Így c3-vel oszthatunk; és ekkor a u3+v3=1 egyenlethez jutunk, ahol u=ac és v=bc racionális számok. Az

u+v=(u3+v3)(u32-u3v3+v32)
összefüggés alapján u32-u3v3+v32=u+v ugyancsak racionális. Itt v3 helyébe (1-u3)-t írva u3-ra egy racionális együtthatós másodfokú egyenlet adódik. Eszerint u3=p+q alakú, alkalmas p, q racionális számokkal. Ebből köbre emeléssel és rendezéssel a
(3p2+q)q=u-p3-3pq(*)
egyenlőséghez jutunk. Mivel a négyzetgyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért pozitív q esetén (3p2+q)0. Ekkor a (*) alatti egyenlőség szerint q racionális. Persze ez csak akkor igaz, ha q=0. Ebből pedig azonnal következik u3 és v3 racionalitása is. Az eredeti egyenletnek tehát csak a=ce3, b=cf3 lehetnek az összes további megoldásai, ahol még e+f=1 is teljesül. Ezután c-t úgy kell választani, hogy mind a=ce3, mind bf3 egészek legyenek. Ezek adják az összes további megoldást.
 
Megjegyzések. 1. Lényegesen nehezebben, de bebizonyítható az is, hogy az an+bn=cn egyenlet egész megoldásai mindig a=a1nd, b=b1nd, c=c1nd alakúak, ahol a1, b1, c1, d1 tetszőleges egész számok. Ezeket triviális megoldásoknak nevezhetjük.
Az is belátható, hogy általában a
c1=a1n1+c2a2n2+...+ckaknk=0(**)
alakú egyenletnek csak ,,triviális'' megoldásai vannak az egész számok körében ai-kre. Itt azért van szükség a ci együtthatókra, mert különben például a 2-2=0 egyenlőség ki lenne zárva. Egyébként pedig ez az általánosabb eset; és ha ennek csak triviális megoldásai vannak, akkor minden egyes speciális esetben is csak triviális megoldás létezik.
Az nem világos még, hogy mit értsünk triviális megoldáson. Ugyanis meg kell engedni például olyan eseteket is, mint 89+-89+9+-273=0. Ennek analógiájára a triviális megoldást úgy értelmezhetjük, hogy a (**)-beli összeget csoportosítjuk. Egy-egy csoporton belül minden egyes gyökkitevő ,,redukálható'' (89 és -89 esetében a kitevő valójában 3; 9 és -273 esetében a kitevő valójában 1). Most már minden csoporton belül ugyanaz az n kitevő szerepel; s a fellépő számok ai=(ai')nb alakúak, egész ai-kkel és b-vel; továbbá csoporton belül szereplő indexekre a ciai=0 teljesül.
2. A beküldők közül többen megfeledkeztek azoknak az eseteknek a diszkutálásáról, amikor valamelyik ismeretlen 0, ők 4 pontot kaptak.