A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. esetén szolgáltatja az összes megoldást. Az () esetben () adja a megoldásokat. Egyébként feltehető, hogy , , egyike sem . Így -vel oszthatunk; és ekkor a egyenlethez jutunk, ahol és racionális számok. Az | | összefüggés alapján ugyancsak racionális. Itt helyébe -t írva -ra egy racionális együtthatós másodfokú egyenlet adódik. Eszerint alakú, alkalmas , racionális számokkal. Ebből köbre emeléssel és rendezéssel a egyenlőséghez jutunk. Mivel a négyzetgyökjel alatt nem állhat negatív szám, ezért pozitív esetén . Ekkor a alatti egyenlőség szerint racionális. Persze ez csak akkor igaz, ha . Ebből pedig azonnal következik és racionalitása is. Az eredeti egyenletnek tehát csak , lehetnek az összes további megoldásai, ahol még is teljesül. Ezután -t úgy kell választani, hogy mind , mind egészek legyenek. Ezek adják az összes további megoldást.
Megjegyzések. 1. Lényegesen nehezebben, de bebizonyítható az is, hogy az egyenlet egész megoldásai mindig , , alakúak, ahol , , , tetszőleges egész számok. Ezeket triviális megoldásoknak nevezhetjük. Az is belátható, hogy általában a | | (**) | alakú egyenletnek csak ,,triviális'' megoldásai vannak az egész számok körében -kre. Itt azért van szükség a együtthatókra, mert különben például a egyenlőség ki lenne zárva. Egyébként pedig ez az általánosabb eset; és ha ennek csak triviális megoldásai vannak, akkor minden egyes speciális esetben is csak triviális megoldás létezik. Az nem világos még, hogy mit értsünk triviális megoldáson. Ugyanis meg kell engedni például olyan eseteket is, mint . Ennek analógiájára a triviális megoldást úgy értelmezhetjük, hogy a -beli összeget csoportosítjuk. Egy-egy csoporton belül minden egyes gyökkitevő ,,redukálható'' ( és esetében a kitevő valójában ; és esetében a kitevő valójában ). Most már minden csoporton belül ugyanaz az kitevő szerepel; s a fellépő számok alakúak, egész -kkel és -vel; továbbá csoporton belül szereplő indexekre a teljesül. 2. A beküldők közül többen megfeledkeztek azoknak az eseteknek a diszkutálásáról, amikor valamelyik ismeretlen 0, ők 4 pontot kaptak. |
|