Az érintett kör középpontja legyen $O$, az érintő körök középpontja $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$. Használjuk az ábra további jelöléseit. Nyilvánvaló, hogy az $O$ körüli $3r$ sugarú kör mind az öt kört tartalmazza, de $3r$-nél kisebb sugarú $O$ középpontú kör már nem jó. Megmutatjuk, hogy $3r$-nel kisebb sugarú kör más középponttal sem felel meg. Nézzük pl. az $O_{1}O{O}_2$ szögtartományt. Ez a szög legalább ${60}^{\circ }$, és mivel rajta kívül még három ilyen szögtartomány van, nem nagyobb, mint ${180}^{\circ }$. Tegyük fel, hogy létezik egy $O\text{'}$ pont, amely köré rajzolható olyan $3r$-nél kisebb sugarú kör, amely mind az öt kört tartalmazza. Mivel $O\ne O\text{'}$, azért van olyan $O_{i}O{O}_{i+1}$ szögtartomány ($i=1$, $\text{...}$, $4$, $O_5=O_1$), amelynek $O\text{'}$ egy $O$-tól különböző pontja. Legyen ez az $O_{2}O{O}_3\sphericalangle$. Tegyük fel egyelőre, hogy $O\text{'}$ a szögtartomány belső pontja. Ezzel a szögtartománnyal nem szomszédos az $F_{1}O{F}_4\sphericalangle$, ami az előbbiek szerint nem nagyobb ${180}^{\circ }$-nál. Ezért $F_{4}OO\text{'}\sphericalangle +F_{1}OO\text{'}\sphericalangle \ge {180}^{\circ }$, tehát az itt szereplő két szög egyike legalább derékszög. Tegyük fel, hogy $F_{1}OO\text{'}\ge {90}^{\circ }$. Ekkor az $F_{1}OO\text{'}$ háromszögben $F_{1}O\text{'}$ a legnagyobb oldal, és mivel $F_{1}O=3r$, $F_{1}O\text{'}>3r$. Ez ellentmondás.
Tekintsük ezután azt az esetet, amikor $O\text{'}$ illeszkedik az őt tartalmazó szögtartomány egyik szárára. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $O\text{'}\in O{F}_2$. Ha az $F_{4}O{F}_2\sphericalangle ={180}^{\circ }$, akkor $O\text{'}{F}_4>O{F}_4=3r$, ha pedig $F_{4}O{F}_2\sphericalangle \ne {180}^{\circ }$, akkor az $F_{4}OO\text{'}$ háromszögben az $F_{4}OO\text{'}\sphericalangle$ legalább ${120}^{\circ }$, ezért az $F_{4}O\text{'}$ oldal a legnagyobb, és most is $F_{4}O\text{'}>F_{4}O=3r$. Megint ellentmondáshoz vezetett az a feltevés, hogy van olyan $O\text{'}$ pont, amely köré rajzolható $3r$-nél kisebb sugarú, az öt kört tartalmazó kör. Tehát a legkisebb kör sugara $3r$.