Kezdőlap


Feladat:	F.3091	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gerő Tamás Miklós , Lakatos Roland
Füzet:	1996/április, 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: F.3091

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a háromszög $s_{a}$ súlyvonalára $s_{a}^{2} = \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4}$ . Ebből $s_{a}^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}$ . A koszinusztétel szerint $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α$ , amiből $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} = b c \cdot cos α$ . Ezért $s_{a}^{2} - \frac{a^{2}}{4} = b c \cdot cos α$ . Hasonló összefüggéseket nyerhetünk a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán szereplő többi nevezőre. Így az igazolandó állítás ekvivalens a következővel:

\begin{matrix} \frac{2 t}{b c \cdot cos α} + \frac{2 t}{a c \cdot cos β} + \frac{2 t}{a b \cdot cos γ} \geq 3 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Tekintve, hogy a háromszög területe

t = \frac{b c \cdot sin α}{2}

, a bal oldal első tagja

\frac{2 t}{b c \cdot cos α} = \frac{b c \cdot sin α}{b c \cdot cos α} = tg α

. A bal oldal másik két tagját ugyanígy átalakítva azt kell bizonyítanunk, hogy

tg α + tg β + tg γ \geq 3 \sqrt[]{3}

.
Ezt az egyenlőtlenséget lapunkban már több helyütt igazoltuk, pl. az F. 3008. feladatban két módon is. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

α = β = γ

, tehát amikor a háromszög szabályos.

Lakatos Roland (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján