Kezdőlap


Feladat:	F.3087	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hatvári Zsuzsanna , Jakabfy Tamás , Makai Márton , Mátrai Tamás , Szobonya László , Visontai Mirkó
Füzet:	1996/április, 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: F.3087

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell megmutatnunk, hogy $4 a + 4 b + 4 c + 4 a b + 4 a c + 4 b c + 4 a b c < 12$ , ahol $a$ , $b$ , $c$ a téglatest élei. Felhasználjuk, hogy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ . Így azt kell bizonyítanunk, hogy

\begin{matrix} 4 a + 4 b + 4 c + 4 a b + 4 a c + 4 b c + 4 a b c < 12 a^{2} + 12 b^{2} + 12 c^{2} . \end{matrix}

A következő átalakítások helyessége könnyen belátható:

\begin{matrix} 3 a^{2} + 3 b^{2} + 3 c^{2} - a b - a c - b c - a - b - c - a b c > 0, \end{matrix}

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2} + 1 + a b + a c + b c - a - b - c - a b c > 0, \end{matrix}

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2} + (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 0. \end{matrix}

Itt az első három tag nemnegatív, a negyedik pedig pozitív, hiszen

a

b

c

mindegyike kisebb mint

1

; ezért az utolsó egyenlőtlenség biztosan igaz. Mivel minden lépésünk megfordítható, az utolsó sorból következik a feladat állítása.

Hatvári Zsuzsanna (Veszprém, Lovassy László Gimn., III. o.t.)