Kezdőlap


Feladat:	F.3085	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bauer Péter , Bozóki Sándor , Braun Gábor , Csávás Csaba , Elek Péter , Formanek Csaba , Gyenes Zoltán , Gyukics Mihály , Gyurkó L. Gergely , Hegyi Barnabás , Kiss Ádám , Lakatos Roland , Lippner Gábor , Makai Márton , Mátrai Tamás , Németh Balázs , Peltz Csaba , Pintér Dömötör , Prause István , Röst Gergely , Sánta Zsuzsa , Siket István , Szabó Jácint , Szikraszer József , Szobonya László , Terpai Tamás , Tóth Mariann , Tóth Zoltán Péter , Vőneki Csaba , Vörös Zoltán , Übelhart István , Zöldy Balázs
Füzet:	1996/április, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Húrsokszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: F.3085

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Az $A A_{i} A_{i + 1}$ háromszög oldalai: $A_{i} A_{i + 1}$ , $a_{i}$ és $a_{i + 1}$ , a körülírt kör középpontja $O$ , az $A_{i} A_{i + 1}$ oldalhoz tartozó magasság $b_{i}$ . A háromszög területét kétféleképpen fölírva:

\begin{matrix} \frac{a_{i} \cdot a_{i + 1} \cdot A_{i} A_{i + 1}}{4 R} = \frac{A_{i} A_{i + 1} \cdot b_{i}}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}} = 2 R \frac{a_{i}}{a_{i + 1}} . \end{matrix}

Ezért a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint (

a_{n + 1} = a_{1}

)

\begin{matrix} \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}} + \frac{a_{2}^{2}}{b_{2}} + ... + \frac{a_{n}^{2}}{b_{n}} = 2 R (\frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + ... + \frac{a_{n}}{a_{1}}) \geq 2 n R \sqrt[n]{\frac{a_{1}}{a_{2}} \cdot \frac{a_{2}}{a_{3}} \cdot ... \cdot \frac{a_{n}}{a_{1}}} = 2 n R . \end{matrix}

Egyenlőség csak

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{3}} = ... = \frac{a_{n}}{a_{1}}

, azaz

a_{1} = a_{2} = ... = a_{n}

esetben állhatna fenn. Ez azt jelentené, hogy

A

egybeesik

O

-val, ami lehetetlen. Így a feladat állításánál valamivel élesebb állítást igazoltunk, azt, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}} + \frac{a_{2}^{2}}{b_{2}} + ... + \frac{a_{n}^{2}}{b_{n}} > 2 n R . \end{matrix}

Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., III. o.t.)

Elek Péter (Budapest, Árpád Gimn., IV. o.t.)