A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Konstruálunk egy , , sorozatot, amely olyan pozitív egészekből fog állni, amelyeknek a tízes számrendszerbeli felírásai csak -es és -es számjegyekből állnak, továbbá minden pozitív egészre az szám -jegyű lesz és osztható -nal. Ennek a sorozatnak a létezéséből következik a feladat állítása. Legyen ; erre az állítás teljesül. Tegyük fel, hogy már definiáltuk -t, amely jegyű és osztható -nal. Tekintsük az és számokat. Ezek úgy keletkeznek, hogy az jegyei elé írunk még egy számjegyet. Mindkét szám osztható -nal, mert és is osztható vele. Másrészt nem osztható -nel, tehát és -nel osztva különböző maradékot adnak. Egy -nal osztható szám azonban -nel osztva csak vagy maradékot adhat, így és közül az egyik -nel osztva maradékot ad, a másik pedig osztható vele. Az utóbbit választva -nek, folytatható a sorozat.
Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o. t.) |
II. megoldás. Legyen pozitív egész, és írjuk fel azokat az -jegyű számokat, amelyeknek minden jegye vagy . | |
Azt állítjuk, hogy ezek -nal osztva csupa különböző maradékot adnak. Mivel a felsorolt számok és a lehetséges maradékok száma is éppen , ebből következik, hogy minden maradék előfordul, következésképpen a is. Legyen és két különböző szám az imént felsoroltak közül. Azt kell bebizonyítanunk, hogy nem osztható -nal. Legyen jobbról számolva az -edik az első olyan helyiérték, ahol és jegye nem egyezik meg. A két szám különbsége darab -ra végződik, az ezeket közvetlenül megelőző jegye pedig vagy . Ebből következik, hogy , ahol egy páratlan szám. Mivel prímtényezős felbontásában a kitevője , a szám nem osztható -nal. Ezzel az állítást beláttuk.
Visontai Mirkó (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.) |
|
|