Kezdőlap


Feladat:	F.3083	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bakonyi Gábor , Barát Anna , Csernák Orsolya , Gáborik István , Gerő Tamás Miklós , Jarábik Béla , Katona Borbála , Kiss Ádám , Kocsis Zoltán , Kutalik Zoltán , Makai Márton , Naszvadi Péter , Nyakas Péter , Papp Ágnes , Pintér Dömötör , Röst Gergely , Visontai Mirkó , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/április, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: F.3083

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján

\begin{matrix} \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{6}} + \frac{1}{x^{8}} + \frac{1}{x^{12}} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{1}{x^{12}}} = \frac{4}{| x |^{7}} \geq \frac{4}{x^{7}}, \end{matrix}

vagyis a bal oldalon mindig nemnegatív szám áll.
Egyenlőség akkor áll fenn, ha a közepekben szereplő négy szám egyenlő:

\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{6}} = \frac{1}{x^{8}} = \frac{1}{x^{12}}

, azaz

| x | = 1

, és

x

pozitív. Az egyetlen megoldás tehát

x = 1