Kezdőlap


Feladat:	F.3082	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Braun Gábor
Füzet:	1996/február, 96 - 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: F.3082

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rendezzük át az egyenletet a következőképpen:

\begin{matrix} \begin{matrix} [5 x] & = [3 x] + 2 [x] + 1; \\ [5 x] - 5 [x] & = [3 x] - 3 [x] + 1; \\ [5 (x - [x])] & = [3 (x - [x])] + 1; \\ [5 {x}] & = [3 {x}] + 1. \end{matrix} \end{matrix}

(

{x}

x

törtrészét jelöli.)
Legyen

a = [3 {x}]

. Tekintve, hogy

0 \leq 3 {x} < 3

, az

a

lehetséges értékei

0

1

és

2

. Egy bizonyos

a

-ra azok az

x

-ek megfelelők, amelyekre

\begin{matrix} a \leq 3 {x} < a + 1 és a + 1 \leq 5 {x} < a + 2, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{a}{3} \leq {x} < \frac{a + 1}{3} és \frac{a + 1}{5} \leq {x} < \frac{a + 2}{5} . \end{matrix}

Ezeket felírva

a

lehetséges értékeire, a

{x}

lehetséges értékeinek halmaza

\begin{matrix} \begin{matrix} ([0; \frac{1}{3}) \cap [\frac{1}{5}; \frac{2}{5})) \cup ([\frac{1}{3}; \frac{2}{3}) \cap [\frac{2}{5}; \frac{3}{5})) \cup ([\frac{2}{3}; 1) \cap [\frac{3}{5}; \frac{4}{5})) = \\ = [\frac{1}{5}; \frac{1}{3}) \cup [\frac{2}{5}; \frac{3}{5}) \cup [\frac{2}{3}; \frac{4}{5}) . \end{matrix} \end{matrix}

(

[p, q)

p

kezdő- és

q

végpontú, balról zárt, jobbról nyílt intervallumot jelöli.)
Végül az egyenlet megoldáshalmaza:

\begin{matrix} ⋃_{k \in Z} ([k + \frac{1}{5}; k + \frac{1}{3}) \cup [k + \frac{2}{5}; k + \frac{3}{5}) \cup [k + \frac{2}{3}; k + \frac{4}{5})) . \end{matrix}

Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., III. o. t.)