Kezdőlap


Feladat:	F.3078	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bárány Kristóf , Brezovich László , Gyenes Zoltán , Makai Márton , Szobonya László , Terpai Tamás , Tóth Mariann
Füzet:	1996/február, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/szeptember: F.3078

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelentse $A_{i}$ azoknak a dobássorozatoknak a számát, amelyekben pontosan $i$ alkalommal szerepelnek egymás után az 1, 2, 3 dobások. ( $0 \leq i \leq 3$ , mert a 10 dobás között 4-szer már nem szerepelhet ez a sorozat.)
Az összes dobások száma ‐ mivel egy dobás 6-féle lehet ‐

\begin{matrix} 6^{10} = A_{0} + A_{1} + A_{2} + A_{3} . \end{matrix}

(1)

Tekintsünk most három egymás utáni dobást, és tegyük fel, hogy ezek értéke 1, 2, 3. A többi 7 dobás tetszőleges lehet, tehát az ilyen sorozatok száma

6^{7}

. A három rögzített dobás helyét 8-féleképpen választhatjuk ki, mert az első eleme az első nyolc dobás közül kerül ki. A kapott

8 \cdot 6^{7}

dobássorozat között minden sorozatot pontosan annyiszor soroltunk fel, ahányszor a sorozatban szerepel az 1, 2, 3 hármas, tehát

\begin{matrix} 8 \cdot 6^{7} = A_{1} + 2 A_{2} + 3 A_{3} . \end{matrix}

(2)

Tekintsük azokat a dobássorozatokat, amelyekben két rögzített helyen szerepel az 1, 2, 3 hármas. A maradék négy dobás

6^{4}

féle lehet. Annak kiszámításához, hogy a két rögzített hármas helye hányféle lehet, vonjuk össze képzeletben a két hármast egy-egy elemmé. Ezzel azt érjük el, hogy két összevont hármas és négy ,,sima'' dobás sorrendje a kérdés. A 6 hely közül kell kiválasztani azt a kettőt, amelyiken összevont hármas lesz. Ez

(\binom{6}{2}) = 15

-féle módon lehetséges.
A

15 \cdot 6^{4}

sorozat között egyszer szerepelnek azok, amelyek pontosan kétszer tartalmazzák az 1, 2, 3 hármast és háromszor azok, amelyek háromszor tartalmazzák, tehát

\begin{matrix} 15 \cdot 6^{4} = A_{2} + 3 A_{3} . \end{matrix}

(3)

Végül tekintsük azokat a dobássorozatokat, amelyek háromszor tartalmazzák az 1, 2, 3 hármast. Az előbbiekhez hasonlóan kapjuk, hogy a három hármas helyét

(\binom{4}{3}) = 4

-féleképpen választhatjuk ki, a megmaradt egyetlen dobás 6 féle lehet, tehát az ilyenek száma

4 \cdot 6

, vagyis

\begin{matrix} 4 \cdot 6 = A_{3} . \end{matrix}

(4)

A (2), (3), (4) egyenletek alapján azoknak a dobássorozatoknak a száma, amelyekben egymás után szerepelnek az 1, 2, 3 dobások,

\begin{matrix} A_{1} + A_{2} + A_{3} = (A_{1} + 2 A_{2} + 3 A_{3}) - (A_{2} + 3 A_{3}) + A_{3} = 8 \cdot 6^{7} - 15 \cdot 6^{4} + 4 \cdot 6 = 2 220 072. \end{matrix}

A keresett valószínűség pedig

\begin{matrix} P = \frac{2 220 072}{6^{10}} \approx 0,0367. \end{matrix}

Tehát körülbelül átlagosan 27 ilyen tízdobásos sorozat közül egyben lesz 1, 2, 3 dobás éppen egymás után.

Brezovich László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.)

Megjegyzések. 1. A megoldásban az úgynevezett logikai szitaformula egy speciális esetét számoltuk végig. Ennek egyik formája azt állítja, hogy ha

H_{1}

H_{2}

...

H_{n}

véges halmazok, akkor

\begin{matrix} \begin{matrix} | H_{1} \cup ... \cup H_{n} | = \sum_{1 \leq i \leq n}^{} | H_{i} | - \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{} | H_{i} \cap H_{j} | + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}^{} | H_{i} \cap H_{j} \cap H_{k} | - + ... \\ ... + {(- 1)}^{n - 1} | H_{1} \cap H_{2} \cap ... H_{n} | . \end{matrix} \end{matrix}

Ennek felhasználásával igazolható, hogy

n

dobás esetén azoknak a sorozatoknak a száma, amelyekben valamelyik három egymás utáni dobás rendre 1, 2, 3,

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{[n / 3]} (\binom{n - 2 k}{k}) 6^{n - 3 k} . \end{matrix}

2. Néhány versenyző a következő ‐ hibás ‐ módszerrel próbálta kiszámítani azoknak a dobássorozatoknak a számát, amelyekben szerepel az 1, 2, 3 hármas: ,,A hármas helye 8-féle lehet, a többi 7 dobás mindegyike 6-féle, ez összesen

8 \cdot 6^{7}

lehetőség.'' Ez a módszer azért téves, mert többször számolja azokat a dobássorozatokat, amelyekben az 1, 2, 3 hármas nemcsak 1-szer szerepel. Az ilyen dolgozatokra nem adtunk pontot.