Feladat:	F.3077	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor ,  Frenkel Péter
Füzet:	1996/február, 92 - 93. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Polinomok, Egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/szeptember: F.3077

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen $P$  $n$-edfokú, $P\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\text{...}+a_{1}x+a_0$, ahol $a_n\ne 0$. Könnyen ellenőrizhető, hogy a $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(x+1\right)-P\left(x\right)=a_n\left({\left(x+1\right)}^n-x^n\right)+a_{n-1}\left({\left(x+1\right)}^{n-1}-x^{n-1}\right)+\text{...}+a_1\left(\left(x+1\right)-x)\right)}\end{array}$ polinom legalább $\left(n-1\right)$-edfokú tagjainak összege $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n\left(\left(x^n+n{x}^{n-1}\right)-x^n\right)+a_{n-1}\left(x^{n-1}-x^{n-1}\right)=n{a}_n{x}^{n-1}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis ez a polinom $\left(n-1\right)$-edfokú. Esetünkben a $P\left(x+1\right)-P\left(x\right)=2x-1$ polinom elsőfokú, a $P$ polinom csak másodfokú lehet. Legyen tehát $P\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(x+1\right)-P\left(x\right)=\left(a{\left(x+1\right)}^2+b\left(x+1\right)+c\right)-\left(a{x}^2+bx+c\right)=2ax+\left(a+b\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez pontosan akkor egyenlő a $2x+1$ polinommal, ha $2a=2$ és $a+b=1$, vagyis $a=1$ és $b=0$. A $P$ polinom tehát $x^2+c$ alakú lehet. Könnyen ellenőrizhető, hogy az ilyenekre teljesül az (1) azonosság.   II. megoldás. Könnyen beláthatjuk, hogy az $x^2+c$ alakú polinomokra (1) teljesül. Megmutatjuk, hogy $P$ csak ilyen alakú lehet. Tegyük fel, hogy a $P$ polinom eleget tesz az (1) azonosságnak, és legyen $Q\left(x\right)=P\left(x\right)-x^2-P\left(0\right)$. Erre a polinomra igaz, hogy $Q\left(0\right)=P\left(0\right)-0^2-P\left(0\right)=0$, és $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle Q\left(x+1\right)}& {\displaystyle =P\left(x+1\right)-{\left(x+1\right)}^2-P\left(0\right)=P\left(x\right)+2x+1-{\left(x+1\right)}^2-P\left(0\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =P\left(x\right)-x^2-P\left(0\right)=Q\left(x\right)}\hfill \end{array}}}\end{array}$ minden $x$-re. E két információból következik, hogy minden egész $x$-re $Q\left(x\right)=0$. Egy polinom értéke azonban csak akkor lehet végtelen sok helyen 0, ha a polinom a 0 polinom, vagyis $Q\left(x\right)=0$. Így tehát $P\left(x\right)=x^2+P\left(0\right)$, vagyis $P$ a kívánt alakú.  Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III o.t.)   Megjegyzés. Többen indoklás nélkül feltételezték, hogy a $P$ polinom csak másodfokú lehet. Ők dolgozatukra 1 pontot kaptak.