A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen -edfokú, , ahol . Könnyen ellenőrizhető, hogy a | | polinom legalább -edfokú tagjainak összege | | vagyis ez a polinom -edfokú. Esetünkben a polinom elsőfokú, a polinom csak másodfokú lehet. Legyen tehát . Ekkor | | Ez pontosan akkor egyenlő a polinommal, ha és , vagyis és . A polinom tehát alakú lehet. Könnyen ellenőrizhető, hogy az ilyenekre teljesül az (1) azonosság.
II. megoldás. Könnyen beláthatjuk, hogy az alakú polinomokra (1) teljesül. Megmutatjuk, hogy csak ilyen alakú lehet. Tegyük fel, hogy a polinom eleget tesz az (1) azonosságnak, és legyen . Erre a polinomra igaz, hogy , és | | minden -re. E két információból következik, hogy minden egész -re . Egy polinom értéke azonban csak akkor lehet végtelen sok helyen 0, ha a polinom a 0 polinom, vagyis . Így tehát , vagyis a kívánt alakú.
Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III o.t.) |
Megjegyzés. Többen indoklás nélkül feltételezték, hogy a polinom csak másodfokú lehet. Ők dolgozatukra 1 pontot kaptak. |
|