Kezdőlap


Feladat:	F.3076	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szente Márk Zsombor
Füzet:	1996/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/szeptember: F.3076

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számolásokban az indexelést és az egyenletek számozását ciklikusan végezzük (mod 1995), tehát például $x_{1996}$ -on $x_{1}$ -et, $x_{0}$ -n $x_{1995}$ -öt értjük.
Először megmutatjuk, hogy az $x_{1}, ..., x_{1995}$ számok között szerepelnie kell a $0$ -nak. Tegyük fel, hogy a $0$ nem szerepel, és írjuk fel az egyenletekben szereplő $1$ -esek elhagyásával keletkező egyenlőtlenségeket:

\begin{matrix} x_{1}^{2} > x_{1994} x_{1995}; x_{2}^{2} > x_{1995} x_{1}; x_{3}^{2} > x_{1} x_{2}; ...; x_{1995}^{2} > x_{1993} x_{1994} . \end{matrix}

Ha az

x_{i}

-k mind azonos előjelűek, akkor ezekben az egyenlőtlenségekben mindkét oldalon csupa pozitív szám áll, és az egyenlőtlenségeket összeszorozva ellentmondásra jutunk. Az

x_{i}

-k között tehát kell lennie pozitívnak és negatívnak is, tehát vannak szomszédos, különböző előjelű értékek is. Legyen

x_{i}

és

x_{i + 1}

két szomszédos, ellentétes előjelű szám. Az

(i + 2)

-edik egyenlet alapján

\begin{matrix} x_{i + 2}^{2} = 1 + x_{i} x_{i + 1} < 1. \end{matrix}

Ez viszont csak úgy lehet, ha

x_{i + 2} = 0

. Ez ellentmondás, tehát van

0

x_{i}

-k között.
Tegyük most fel, hogy valamilyen

i

-re

x_{i} = 0

. Ekkor

x_{i + 1}^{2} = 1 + x_{i - 1} x_{i} = 1

és

x_{i + 2}^{2} = 1 + x_{i} x_{i + 1} = 1

, amiből következik, hogy

x_{i + 1}

és

x_{i + 2}

értéke

+ 1

vagy

- 1

. Egyenlők nem lehetnek, mert ebből

x_{i + 3}^{2} = 1 + x_{i + 1} x_{i + 2} = 2

következne, ami ellentmondás, mert a

2

nem négyzetszám. Marad tehát az az eset, amikor

x_{i + 1}

és

x_{i + 2}

közül az egyik

+ 1

, a másik

- 1

. Ebben az esetben

x_{i + 3}^{2} = 1 + x_{i + 1} x_{i + 2} = 0

. Ezekkel az értékekkel az

(i + 1)

-edik,

(i + 2)

-edik és

(i + 3)

-adik egyenlet biztosan teljesül.
Azt kaptuk, hogy az

x_{1}

x_{2}

...

sorozatban a

0

-k után valamilyen sorrendben egy

+ 1

és egy

- 1

következik, majd ismét egy

0

; minden harmadik helyen

0

áll. Mivel a ciklus hossza,

1995

osztható

3

-mal, ez a sorozat körbeér. A megoldások tehát a következők: minden harmadik

x_{i}

értéke

0

, vagyis az

x_{1} = x_{4} = ... = x_{1993} = 0

x_{2} = x_{5} = ... = x_{1994} = 0

x_{3} = x_{6} = ... = x_{1995} = 0

, állítások közül az egyik teljesül, a közbülső elempárok egyik eleme mindig

+ 1

, a másik

- 1

Szente Márk Zsombor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)