Kezdőlap


Feladat:	F.3075	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Illés , Makai Márton , Ugron Balázs , Véber Miklós
Füzet:	1996/január, 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: F.3075

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Ismeretes, hogy az $a$ , $b$ , $c$ oldalú háromszög területe $T = \frac{a b c}{4 R}$ , ahol $R$ a körülírt kör sugara. Ezért $R = \frac{a b c}{4 T}$ , és így a bizonyítandó állítás:

\begin{matrix} m \leq \frac{a b c}{4 T \sqrt[]{2}}, vagy 2 m T \leq \frac{a b c}{2 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

(1)

A tetraéder térfogatát kétféleképpen fölírva:

\frac{T \cdot m}{3} = \frac{d \cdot e}{2} \cdot \frac{f}{3}

, amiből

\begin{matrix} 2 m T = d \cdot e \cdot f . \end{matrix}

(2)

Minthogy a

D

csúcsból kiinduló élek páronként merőlegesek,

\begin{matrix} a = \sqrt[]{e^{2} + f^{2}}, b = \sqrt[]{d^{2} + f^{2}}, c = \sqrt[]{d^{2} + e^{2}} . \end{matrix}

(3)

A (2) és (3) alapján bizonyítandó (1) állítás:

\begin{matrix} d \cdot e \cdot f \leq \frac{\sqrt[]{e^{2} + f^{2}} \cdot \sqrt[]{d^{2} + f^{2}} \cdot \sqrt[]{d^{2} + e^{2}}}{2 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Ez így írható:

\begin{matrix} \sqrt[]{e f} \cdot \sqrt[]{d f} \cdot \sqrt[]{d e} \leq \sqrt[]{\frac{e^{2} + f^{2}}{2}} \cdot \sqrt[]{\frac{d^{2} + f^{2}}{2}} \cdot \sqrt[]{\frac{d^{2} + e^{2}}{2}}, \end{matrix}

ami a sorban megfelelő tényezők közötti egyenlőtlenségek alapján nyilvánvaló. Ezzel a feladat állítását igazoltuk. Azt is látjuk, hogy egyenlőség csak

d = e = f

esetében lesz.

Makai Márton (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.)