Feladat: F.3074 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Burcsi Péter ,  Dömötör Edit ,  Elek Péter ,  Farkas Illés ,  Gröller Ákos ,  Gyukics Mihály ,  Lolbert Tamás ,  Lovász Zoltán ,  Makai Márton ,  Méder Áron ,  Nagy Katalin ,  Pápay Mihály ,  Puskás Zsolt ,  Radnóti Gergely ,  Rozmán András ,  Séllei Béla ,  Szilágyi Judit ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Ugron Balázs ,  Valkó Benedek ,  Varga Tamás ,  Véber Miklós ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1996/január, 34. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/május: F.3074

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az x2+y2=2 egyenletű körön racionális pont nyilván nincs.
b) A (2;0) középpontú, 2 sugarú kör egyenlete: (x-2)2+y2=2. Legyen ennek egy pontja (pq;sq), ahol p, q, s egészek és q0. A kör egyenletébe behelyettesítve: (pq-2)2+(sq)2=2, amiből p2+s2=22pq. Mivel 2 irracionális, ez csak úgy lehetséges, ha p=0 és s=0. Tehát ezen a körön csak egy racionális pont van, a (0;0).
c) A (0;2) középpontú, az (1;0) és (-1;0) pontokon átmenő körön pontosan 2 racionális pont van, éspedig a megadottak. Ha ugyanis lenne egy harmadik racionális pont is, akkor a kör középpontja is racionális lenne, és ez ellentmondás. A középpontra vonatkozó állításunkat a megoldás d) részében fogjuk igazolni.
d) Először bebizonyítjuk, hogy ha egy körön három racionális pont van, akkor a középpont is racionális. Írjuk fel ugyanis a három pont meghatározta szakaszok közül kettő felező merőlegesének az egyenletét. Ez egy racionális együtthatós lineáris egyenletrendszert ad, amelynek ‐ tekintve, hogy a 3 pont nincs egy egyenesen ‐ egyetlen racionális megoldása lesz, ami a kör középpontja. A 3 pont közül legfeljebb 2 lehet tükrös a kör középpontjára, ezért van közöttük olyan, amelyiket a középpontra tükrözve egy újabb racionális pontot kapunk a körön. Ezért nincs olyan kör, amelyiken pontosan 3 racionális pont van.

 Gröller Ákos (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)

 

Megjegyzés. Véber Miklós (Veszprém, Lovassy L. Gimn.) megmutatta, hogy ha egy körnek van 3 racionális pontja, akkor végtelen sok ilyen pontja van.