|
Feladat: |
F.3074 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Burcsi Péter , Dömötör Edit , Elek Péter , Farkas Illés , Gröller Ákos , Gyukics Mihály , Lolbert Tamás , Lovász Zoltán , Makai Márton , Méder Áron , Nagy Katalin , Pápay Mihály , Puskás Zsolt , Radnóti Gergely , Rozmán András , Séllei Béla , Szilágyi Judit , Tóth Gábor Zsolt , Ugron Balázs , Valkó Benedek , Varga Tamás , Véber Miklós , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1996/január,
34. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kör egyenlete, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/május: F.3074 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Az egyenletű körön racionális pont nyilván nincs. b) A középpontú, sugarú kör egyenlete: . Legyen ennek egy pontja , ahol , , egészek és . A kör egyenletébe behelyettesítve: , amiből . Mivel irracionális, ez csak úgy lehetséges, ha és . Tehát ezen a körön csak egy racionális pont van, a . c) A középpontú, az és pontokon átmenő körön pontosan 2 racionális pont van, éspedig a megadottak. Ha ugyanis lenne egy harmadik racionális pont is, akkor a kör középpontja is racionális lenne, és ez ellentmondás. A középpontra vonatkozó állításunkat a megoldás d) részében fogjuk igazolni. d) Először bebizonyítjuk, hogy ha egy körön három racionális pont van, akkor a középpont is racionális. Írjuk fel ugyanis a három pont meghatározta szakaszok közül kettő felező merőlegesének az egyenletét. Ez egy racionális együtthatós lineáris egyenletrendszert ad, amelynek ‐ tekintve, hogy a 3 pont nincs egy egyenesen ‐ egyetlen racionális megoldása lesz, ami a kör középpontja. A 3 pont közül legfeljebb 2 lehet tükrös a kör középpontjára, ezért van közöttük olyan, amelyiket a középpontra tükrözve egy újabb racionális pontot kapunk a körön. Ezért nincs olyan kör, amelyiken pontosan 3 racionális pont van.
Gröller Ákos (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
Megjegyzés. Véber Miklós (Veszprém, Lovassy L. Gimn.) megmutatta, hogy ha egy körnek van 3 racionális pontja, akkor végtelen sok ilyen pontja van. |
|