A megoldáshoz szükségünk lesz az út fogalmára. Az $A_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_k$ pontok utat alkotnak, ha $A_1{A}_2$, $A_2{A}_3$, $\text{...}$, $A_{k-1}{A}_k$ mindegyike éle a gráfnak. Az $A_1$ és $A_k$ pontokat az út kezdő- illetve végpontjának nevezzük. Ha az $u$ út végpontja megegyezik a $v$ út kezdőpontjával, akkor $uv$-vel jelöljük a két út összekapcsolásával keletkező utat.
Ha a gráfban nincs Euler-kör, kész vagyunk; feltételezhetjük, hogy létezik egy $E_0$ Euler-kör. Mint ismeretes, ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a gráf összefüggő, és minden pont foka páros legyen.^{${}^{*}$}pl. Reiman István: A geometria és határterületei (321‐322. o.) vagy Hajnal‐Nemetz‐Pintér‐Urbán: Matematika (B fakt.) IV. oszt. 204‐206. o. (Tankönyvkiadó, 1982).
A feladatot több esetre bontjuk attól függően, hogy a gráfban milyen fokszámú pontok vannak.
I. eset: ha van legalább hatodfokú pont. Tekintsünk egy ilyen pontot, legyen ez $P$, a foka $2k$. Az $E_0$ Euler-kör pontosan $k$ alkalommal megy át ezen a ponton, tehát létezik $k$ darab olyan út, amelynek kezdő- és végpontja is $P$, továbbá ezek az utak minden élt pontosan egyszer tartalmaznak. Jelölje ezeket az utakat $u_1$,$\text{...}$,$u_k$; jelölje az $u_i$ megfordításával keletkező utat $u_i^{-1}$. Mivel a gráf egyszerű, ezek az utak legalább három élből állnak, és emiatt a megfordítással keletkező utak biztosan különböznek az eredetiektől. Az $u_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{u}_k$, $u_1^{-1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{u}_k^{-1}$ utak tehát különbözők. Ekkor viszont fel tudunk sorolni legalább négy különböző Euler-kört: $u_1{u}_2{u}_3\text{...}{u}_k$, $u_1{u}_2^{-1}{u}_3\text{...}{u}_k$, $u_1{u}_2{u}_3^{-1}\text{...}{u}_k$, $u_1{u}_2^{-1}{u}_3^{-1}\text{...}{u}_k$. Az állítás tehát igaz.
II. eset: ha van legalább két negyedfokú pont. Legyen $P$ és $Q$ két negyedfokú pont. Az $E_0$ kör mindkét ponton kétszer megy át, ez kétféle sorrendben lehetséges: $P-P-Q-Q$ vagy $P-Q-P-Q$. (A többi eset a kör pontjainak ciklikus cseréjével ebbe megy át.)
A $P-P-Q-Q$ eseben az $E_0$ kört felbonthatjuk az $u_{pp}$, $u_{pq}$, $u_{qq}$, $u_{qp}$ utakra, amelyeknek az indexükben megjelölt pontok a végpontjaik. Most is fel tudunk sorolni négy különböző Euler-kört: $u_{pp}{u}_{pq}{u}_{qq}{u}_{qp}$, $u_{pp}{u}_{pq}{u}_{qq}^{-1}{u}_{qp}$, $u_{pp}{u}_{qp}^{-1}{u}_{qq}{u}_{pq}^{-1}$, $u_{pp}{u}_{qp}^{-1}{u}_{qq}^{-1}{u}_{pq}^{-1}$.
A $P-Q-P-Q$ esetben az $E_0$ kört az $u_{pq}\mathrm{,}{u}_{qp}\mathrm{,}{v}_{pq}\mathrm{,}{v}_{qp}$ utakra bontjuk fel, amelyek közül $u_{pq}$ és $v_{pq}$ $P$-ből $Q$-ba, $u_{qp}$ és $v_{qp}$ $Q$-ból $P$-be halad. Ebben az esetben is létezik négy különböző Euler-kör: $u_{pq}{u}_{qp}{v}_{pq}{v}_{qp}$, $u_{pq}{u}_{qp}{v}_{qp}^{-1}{v}_{pq}^{-1}$, $u_{pq}{v}_{qp}{v}_{pq}{u}_{qp}$, $u_{pq}{v}_{qp}{v}_{qp}^{-1}{u}_{pq}^{-1}$.
III. eset: ha a gráfban minden pont másodfokú. Ebben az esetben az Euler-kör egyértelmű, legfeljebb csak a körüljárás irányát választhatjuk meg. Az Euler-körök száma tehát egy.
IV. eset: ha az egyik pont negyedfokú, a többi pedig (legfeljebb) másodfokú. Legyen $P$ a negyedfokú pont. Ezen az $E_0$ kör kétszer megy át, ezért $P$ a kört az $u$ és $v$ utakra (körökre) bontja. Tekintsünk egy Euler-kört. Ez szintén tartalmazza az $u$ és $v$ köröket, csupán ezek sorrendje és a körüljárásuk iránya lehet más. A kezdőpont és az irány megválasztásával elérhetjük, hogy először $u$-t járja be ugyanolyan sorrendben, ezután pedig $v$-t; itt kétféle körüljárás lehetséges. Ez pedig azt jelenti, hogy pontosan két Euler-kör van: $uv$ és $u{v}^{-1}$.
Minden esetet megvizsgáltunk, az Euler-körök száma sohasem lehet pontosan három.