Kezdőlap


Feladat:	F.3071	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elek Péter , Farkas Illés , Gyenes Zoltán , Kocsis Zoltán , Kutalik Zoltán , Lovász Zoltán , Makai Márton , Perényi Márton , Véber Miklós
Füzet:	1996/január, 32 - 33. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: F.3071

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet megoldásához arra az észrevételhez van szükség, hogy a bal oldalon álló két tag egymás reciproka. Ez azért igaz, mert

\begin{matrix} (\sqrt[]{5} + 2) \cdot (\sqrt[]{5} - 2) = {(\sqrt[]{5})}^{2} - 2^{2} = 1. \end{matrix}

Legyen

y = {(\sqrt[]{5} + 2)}^{x}

. Az iméntiek alapján

{(\sqrt[]{5} - 2)}^{x} = \frac{1}{y}

. Mindezeket behelyettesítve az egyenletbe:

\begin{matrix} y + \frac{1}{y} = 18. \end{matrix}

Beszorozva

y

-nal és átrendezve az

y^{2} - 18 y + 1 = 0

másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek két megoldása van:

9 + \sqrt[]{80}

és

9 - \sqrt[]{80}

, ugyancsak egymás reciprokai.
Könnyen ellenőrizhető, hogy

\begin{matrix} 9 + \sqrt[]{80} = {(\sqrt[]{5} + 2)}^{2} és 9 - \sqrt[]{80} = {(\sqrt[]{5} - 2)}^{2} = {(\sqrt[]{5} + 2)}^{- 2} . \end{matrix}

Mivel egyik hatványalap sem 1, ezekből következik, hogy az egyenletet csak

x = 2

és

x = - 2

elégítheti ki. Lépéseink megfordíthatósága miatt pedig ezek valóban megoldások.
Az egyenletnek tehát két megoldása van:

x_{1} = 2

és

x_{2} = - 2