Kezdőlap


Feladat:	F.3070	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elek Péter , Gröller Ákos , Kutalik Zoltán , Lolbert Tamás , Lovász Zoltán , Makai Márton , Megyeri Csaba , Pap Gyula , Varga Tamás , Vaszil Krisztina , Véber Miklós , Vörös Zoltán
Füzet:	1995/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/május: F.3070

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be az $a = x - z$ , $b = y - z$ jelöléseket. Ezekkel (1) a következő alakú:

\begin{matrix} {(a - b - 3)}^{2} + a^{2} + b^{2} = 3. \end{matrix}

A bal oldalra rendezve és teljes négyzetté alakítva:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 6 a + 6 b + 6 & = 0; & (2) \\ 2 {(a - \frac{1}{2} b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} b^{2} + 3 b + \frac{3}{2} & = 0; \\ 2 {(a - \frac{1}{2} b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{2} {(b + 1)}^{2} & = 0. \end{matrix} \end{matrix}

A bal oldalon egyik tag sem lehet negatív, ezért az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha mindkettő

0

. Ez pedig akkor teljesül, ha

b = - 1

és

a = \frac{1}{2} b + \frac{3}{2} = 1

. Ez az eredeti ismeretlenekre azt jelenti, hogy

y = z - 1

és

x = z + 1

. Az ilyen számhármasokra (1) bal oldalán mindhárom tag értéke

1

.
Az egyenlet megoldásai tehát mindazok a számhármasok, amelyekben

x = z + 1

és

y = z - 1

Megjegyzés. Megtehettük volna, hogy (2)-t paraméteres másodfokú egyenletként oldjuk meg (pl.

a

az ismeretlen,

b

a paraméter) és a diszkrimináns előjelének vizsgálatából állapíthattuk volna meg, hogy a paraméter milyen értékeire van megoldás. Ez az út nem különbözik lényegesen a megoldás módszerétől, mivel a másodfokú egyenlet megoldóképletét is teljes négyzetté alakítással kapjuk.