Kezdőlap


Feladat:	F.3068	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor , Lovász Zoltán , Makai Márton , Pap Júlia , Pólik Imre , Radnóti Gergely , Valkó Benedek , Véber Miklós , Zöldy Balázs
Füzet:	1995/december, 536 - 537. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: F.3068

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ábráink $h$ -ra merőleges síkmetszetek. Használjuk azok jelöléseit. Az 1. ábra két háromszögének hasonlóságából $x : 2 = 2 : y$ , amiből $y = \frac{4}{x}$ . A Pitagorasz-tétel alapján ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 36$ , és így az első összefüggést is fölhasználva:

\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 4 + \frac{16}{x^{2}} + \frac{16}{x} + 4 = 36, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} {(x + \frac{4}{x})}^{2} + 4 (x + \frac{4}{x}) = 36. \end{matrix}

a = x + \frac{4}{x}

új ismeretlent bevezetve az

a^{2} + 4 a - 36 = 0

egyenletet kell megoldanunk, amiből

a = - 2 \pm 2 \sqrt[]{10}

. Tekintve, hogy

x > 0

, csak az

a = - 2 + 2 \sqrt[]{10}

megoldás lehetséges. Az

a = x + \frac{4}{x}

egyenletből

x^{2} - a x + 4 = 0

, tehát

x^{2} - (- 2 + 2 \sqrt[]{10}) x + 4 = 0

. Ebből

\begin{matrix} \begin{matrix} x & = \frac{- 2 + 2 \sqrt[]{10} \pm \sqrt[]{{(- 2 + 2 \sqrt[]{10})}^{2} - 16}}{2} = \\ = \sqrt[]{10} - 1 \pm \sqrt[]{7 - 2 \sqrt[]{10}} = \sqrt[]{10} - 1 \pm (\sqrt[]{5} - \sqrt[]{2}) . \end{matrix} \end{matrix}

Tehát

x

két lehetséges értéke:

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1} & = \sqrt[]{10} - 1 + \sqrt[]{5} - \sqrt[]{2} = 2,98 \\ x_{2} & = \sqrt[]{10} - 1 - \sqrt[]{5} + \sqrt[]{2} = 1,34. \end{matrix} \end{matrix}

A létra felső vége a padló fölött

x_{1} + 2 = 4,98

vagy

x_{2} + 2 = 3,34

méter magasan van.

Pap Júlia (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 8. o.t.)

Megjegyzések. 1. Az

x

-re kapott egyismeretlenes egyenlet a törtek eltávolítása után negyedfokú lesz. Ennek 4 gyöke ‐ mind irracionális ‐ például közelítő eljárásokkal tetszőleges pontossággal meghatározható.
2. Az

x

és

y

ismeretlenekre felírt két egyenlet egy hiperbola, illetve egy kör egyenlete. A két másodrendű görbe könnyen ábrázolható, ezért a megoldások bizonyos pontossággal grafikusan is megadhatók.
3. A negatív

a

értékhez tartozó negatív

x

értékeknek geometriai jelentést tulajdoníthatunk, ha a fal és a padló derékszögének szárait számegyenesekké bővítjük (2. ábra).