A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Először azt igazoljuk, hogy . Ehhez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget használjuk fel: Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy . Ha ugyanis lenne, akkor lenne. A egyenlőtlenség igazolásához fejezzük ki -t is segítséel: | | A bizonyítandó egyenlőtlenségbe behelyettesítve: | | Szorozzuk meg mindkét oldalt -nel, majd -nel, rendezzük a tagokat egy oldalra, majd a kapott kifejezést alakítsuk szorzattá: | | Ez az egyenlőtlenség pedig miatt triviálisan teljesül.
II. megoldás. A egyenlőtlenséget az előző megoldás szerint igazoljuk. Az (1) becslést kissé módosítva írjuk fel: A számtani és mértani közép között csak akkor állhatna egyenlőség, ha , vagyis lenne. Ebből viszont definíciója szerint az is következne, hogy , ami ellentmond a feltételnek. Ezt az esetet a feladat nem kívánja vizsgálni. Tehát és . Az egyenlőtlenség helyett a vele ekvivalens egyenlőtlenséget igazoljuk: | | Mivel mindkét tényező pozitív, ez az állítás is igaz.
Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.) |
|
|