Feladat:	F.3066	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor ,  Lovász Zoltán ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Vörös Zoltán
Füzet:	1995/december, 535 - 536. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: F.3066

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Először azt igazoljuk, hogy $c>1$. Ehhez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget használjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle c=\frac{b+\frac{1}{b^3}}{2}\ge \sqrt[]{b\cdot \frac{1}{b^3}}=\frac{1}{b}>1.}\end{array}$ Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy $a>1$. Ha ugyanis $a\le 1$ lenne, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\frac{a+\frac{1}{a^3}}{2}\ge \sqrt[]{a\cdot \frac{1}{a^3}}=\frac{1}{a}\ge 1}\end{array}$ (1) lenne. A $c<a$ egyenlőtlenség igazolásához fejezzük ki $c$-t is $a$ segítséel: $\begin{array}{c}{\displaystyle c=\frac{b+\frac{1}{b^3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \left[\frac{a+\frac{1}{a^3}}{2}+\frac{1}{{\left(\frac{a+\frac{1}{a^3}}{2}\right)}^3}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ A bizonyítandó egyenlőtlenségbe behelyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left[\frac{a+\frac{1}{a^3}}{2}+\frac{1}{{\left(\frac{a+\frac{1}{a^3}}{2}\right)}^3}\right]<a\mathrm{.}}\end{array}$ Szorozzuk meg mindkét oldalt $4a^3$-nel, majd ${\left(a^4+1\right)}^3$-nel, rendezzük a tagokat egy oldalra, majd a kapott kifejezést alakítsuk szorzattá: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a^4+1+\frac{16a^{12}}{{\left(a^4+1\right)}^3}<4a^4}\\ \hfill {\displaystyle 0<\left(3a^4-1\right){\left(a^4+1\right)}^3-16a^{12}}\\ \hfill {\displaystyle 0<3a^{16}-8a^{12}+6a^8-1}\\ \hfill {\displaystyle 0<{\left(a^4-1\right)}^3\left(3a^4+1\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Ez az egyenlőtlenség pedig $a>1$ miatt triviálisan teljesül.   II. megoldás. A $c>1$ egyenlőtlenséget az előző megoldás szerint igazoljuk. Az (1) becslést kissé módosítva írjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle ab=\frac{a^2+\frac{1}{a^2}}{2}\ge \sqrt[]{a^2\cdot \frac{1}{a^2}}=1.}\end{array}$ A számtani és mértani közép között csak akkor állhatna egyenlőség, ha $a^2=1$, vagyis $a=1$ lenne. Ebből viszont $b$ definíciója szerint az is következne, hogy $b=1$, ami ellentmond a $b<1$ feltételnek. Ezt az esetet a feladat nem kívánja vizsgálni. Tehát $ab>1$ és $a>\frac{1}{b}>1>b$. Az $a>c$ egyenlőtlenség helyett a vele ekvivalens $ab>bc$ egyenlőtlenséget igazoljuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle ab>bc}\\ \hfill {\displaystyle \frac{a^2+\frac{1}{a^2}}{2}>\frac{b^2+\frac{1}{b^2}}{2}}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle \frac{a^4{b}^2+b^2-a^2{b}^4-a^2}{2a^2{b}^2}>0}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle \left(a^2-b^2\right)\left(a^2{b}^2-1\right)>0.}\end{array}}}\end{array}$ Mivel mindkét tényező pozitív, ez az állítás is igaz.  Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.)