A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egyszerűség kedvéért legyen , ahol az ,,'' jegyek száma . Két esetet vizsgálunk attól függően, hogy és a 10 relatív prímek-e. Ha és 10 nem relatív prímek, akkor van egy közös prímosztójuk (ami csak a 2 vagy az 5 lehet). Ez a prímosztó viszont mindegyik -nek osztója, mert | |
Ha és 10 relatív prímek, akkor bebizonyítjuk, hogy végtelen sok olyan pozitív egész van, amelyre osztható -gyel. Ehhez először megmutatjuk, hogy létezik olyan pozitív egész, amelyre osztható -gyel. Válasszunk az , , , sorozatból két olyan elemet, amelyik -gyel osztva ugyanannyi maradékot ad. (Ilyen tagok léteznek, mert a sorozatnak végtelen sok tagja, maradéka viszont csak véges sok féle van.) Legyen ez a két tag és , ahol . A választás szerint | | osztható -gyel. Mivel és a 10 relatív prímek, relatív prím a kiemelt tényezőhöz, tehát osztója kell legyen -nek. Mindez azt jelenti, hogy megfelelő. Legyen tehát olyan pozitív egész, amelyre osztható -gyel. Ekkor minden pozitív egészre | | osztható -gyel, tehát összetett.
Megjegyzések. 1. A bizonyítás második részét másképpen is el lehet mondani. Ha és 10 relatív prímek, akkor a és a 10 is relatív prímek, és az Euler‐Fermat-tétel szerint osztható -gyel. Ebből viszont következik, hogy | | osztható -gyel. 2. Ha , akkor helyett számolhattunk volna -vel is. A esetet azonban így is meg kellett volna vizsgálnunk. 3. A bizonyítás -nek sok értékére egyszerű, például ha páros, vagy osztható 3-mal. Még a eset sem nehéz. A eset azonban további esetszétválasztást igényel, vagy pedig a látott gondolatmenet alkalmazását.
|
|