A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az függvény megfelelő, mert értékei pozitív egészek, és tetszőleges pozitív egészre | | Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs. Az függvény biztosan injektív, azaz esetén . Ha ugyanis , akkor és , amiből következik, hogy . Az injektivitás következménye, hogy esetén , vagy . Most meghatározzuk értékét. Ha (1)-et felírjuk -re, megállapíthatunk -re egy felső korlátot: Az állítás bizonyításához tehát hat esetet kell kizárni. I. eset: . Ekkor és . II. eset: . Ekkor | | Ez ellentmond annak, hogy pozitív. Hasonló ellentmondásra vezet az , 5, 6 és 7 kiindulás, vagy negatív, vagy kétértékű függvényt kapunk legfeljebb a harmadik lépésben. (ld. az 1. Megjegyzést a feladat végén.) Abból, hogy , következik, hogy minden páratlan -re . Ez -re, mint láttuk, igaz. Ha pedig valamely -re , akkor . Most meghatározzuk értékét is. Ha (1)-et -vel írjuk fel, azt kapjuk, hogy . Az is biztos, hogy nem lehet -nél nagyobb páratlan szám, mert ezeket a függvény a páratlan helyeken felveszi, és ez ellentmondana az injektivitásnak. Az lehetséges értékei tehát a 4-en kívül már csak 1, 2, 6 és 8. Most ezeket zárjuk ki: I. eset: . Ekkor , ami ellentmond annak, hogy . Hasonlóan ellentmondásra jutunk , 6 és 8 esetén is. Abból, hogy , ismét következik, hogy minden páros -re .
II. megoldás. Azt, hogy megfelelő, az előző megoldás szerint ellenőrizhetjük. Legyen tetszőleges rögzített pozitív egész. Megmutatjuk, hogy . Definiáljuk a következő sorozatot: , . Az függvény értékei pozitív egészek, tehát ez a sorozat pozitív egészekből áll. Legyen továbbá . A definíció szerint , és azt akarjuk igazolni, hogy is . Az (1) egyenlet szerint amiből | |
Teljes indukcióval igazoljuk, hogy tetszőleges nemnegatív egészre Ez -ra és -re igaz, mert a , illetve azonosságokat adja. Ha (3) teljesül -re és -re, akkor teljesül -re is: | | Ezzel (3)-at igazoltuk. A sorozat definíciója alapján . Ebből (3) alapján alsó és felső becsléseket nyerhetünk -re, ha helyére valamilyen páratlan, illetve páros számot írunk. Legyen pozitív egész; , illetve helyettesítéssel | | Az első egyenlőtlenségben együtthatója pozitív, a másodikban negatív. Ha leosztunk vele, az első egyenlőtlenség iránya megváltozik, a másodiké nem. Ezzel a következő becslést kapjuk: | | Ha most , akkor az alsó és a felső becslés is -hoz tart, tehát .
Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., III. o.t.) és |
Valkó Benedek Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzések. 1. A második megoldás valójában az elsőnek egy általánosított változata. Az első megoldás esetszétválasztásait egyszerre számoltuk ki. Például ha , akkor a függvényegyenlet alapján megállapíthatjuk, hogy , , , , stb. Ahhoz, hogy az utolsó két szám pozitív egész legyen, szükséges, hogy és , azaz legyen. Ebben az intervallumban az egyetlen egész szám a 3. 2. A második megoldás akkor is működik, ha az függvény pozitív valós számok halmazát képezi önmagára. Ilyenkor is az egyetlen megoldás.
|
|