Feladat:	F.3058	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor ,  Elek Péter ,  Farkas Illés ,  Farkas Péter ,  Frenkel Péter ,  Gémes Tamás ,  Hegedűs Viktor ,  Jalsovszky Tamás ,  Lolbert Tamás ,  Lovász Zoltán ,  Lukács Péter ,  Mátrai Tamás ,  Puskás Zsolt ,  Radnóti Gergely ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek ,  Varga Tamás
Füzet:	1995/december, 528 - 529. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: F.3058

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Tekintsük a következő táblázatot: $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill 3\hfill & \hfill 3^2\hfill & \hfill 3^3\hfill & \hfill 3^4\hfill & \hfill \text{...}\hfill & \hfill 3^{99}\hfill & \hfill 3^{100}\hfill \\ \hfill \text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}\hfill & \hfill 3^2\hfill & \hfill 3^3\hfill & \hfill 3^4\hfill & \hfill \text{...}\hfill & \hfill 3^{99}\hfill & \hfill 3^{100}\hfill \\ \hfill \text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}\hfill & \hfill \hfill & \hfill 3^3\hfill & \hfill 3^4\hfill & \hfill \text{...}\hfill & \hfill 3^{99}\hfill & \hfill 3^{100}\hfill \\ \hfill \text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 3^4\hfill & \hfill \text{...}\hfill & \hfill 3^{99}\hfill & \hfill 3^{100}\hfill \\ \hfill \text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \ddots \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 3^{99}\hfill & \hfill 3^{100}\hfill \\ \hfill \text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill & \hfill 3^{100}\hfill \end{array}}\end{array}$ Ha minden oszlopban összeadjuk a számokat, éppen (1) tagjait kapjuk. A feladat tehát a táblázatban levő számok összegének meghatározása. Adjuk össze a számokat előbb soronként, majd összegezzük a sorösszegeket! Ez azért előnyös, mert minden sorban egy-egy mértani sorozat tagjai állnak. A $k$-adik sorban levő számok összege a mértani sorozat összegképlete szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^k+3^{k+1}+\text{...}+3^{100}=3^k\frac{3^{101-k}-1}{3-1}=\frac{3^{101}-3^k}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ a sorösszegek összege pedig ‐ ismét felhasználva a mértani sorozat összegképletét ‐ $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{3^{101}-3^1}{2}+\frac{3^{101}-3^2}{2}+\text{...}+\frac{3^{101}-3^{100}}{2}=50\cdot 3^{101}-\frac{3}{2}\left(1+3+3^2+\text{...}+3^{99}\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =50\cdot 3^{101}-\frac{3}{2}\cdot \frac{3^{100}-1}{3-1}=\frac{199\cdot 3^{101}+3}{4}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$   II. megoldás. Tekintsük az $f\left(x\right)=1+x+x^2+x^3+\text{...}+x^{100}$ polinomot. Könnyű ellenőrizni, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x\cdot f\text{'}\left(x\right)=x+2x^2+3x^3+\text{...}+100x^{100}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát a feladat $3\cdot f\text{'}\left(3\right)$ értékének meghatározása. ($f\text{'}$ az $f$ polinom deriváltja.) A mértani sorozat összegképlete szerint $x\ne 1$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^{101}-1}{x-1}\mathrm{,}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle xf\text{'}\left(x\right)=x\frac{101x^{100}\left(x-1\right)-\left(x^{101}-1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{100x^{102}-101x^{101}+x}{{\left(x-1\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítve $x=3$-at: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\text{...}+100\cdot 3^{100}=\frac{100\cdot 3^{102}-101\cdot 3^{101}+3}{4}=\frac{199\cdot 3^{101}+3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Mindkét megoldás módszerével igazolható, hogy ha $n$ pozitív egész és $q\ne 1$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle q+2\cdot q^2+3\cdot q^3+\text{...}+n\cdot q^n=q\frac{n{q}^{n+1}-\left(n+1\right)q^n+1}{{\left(q-1\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$