Feladat:	F.3055	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Lovász Zoltán ,  Makai Márton
Füzet:	1996/január, 28 - 29. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: F.3055

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. megoldás. A $\text{cos}\alpha =\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)$ azonosság alapján a megoldandó egyenlet így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\left(\pi \cdot \text{cos}x\right)=\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}+\pi \text{sin}x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez akkor és csak akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \pi \cdot \text{cos}x}& {\displaystyle =\frac{\pi }{2}+\pi \text{sin}x+2\cdot k\cdot \pi }\hfill & \hfill {\displaystyle \left(1\right)}\\ \multicolumn{3}{c}{\text{<br>vagy}}\\ \hfill {\displaystyle \pi \cdot \text{cos}x}& {\displaystyle =\pi -\left(\frac{\pi }{2}+\pi \text{sin}x\right)+2\cdot k\cdot \pi \left(k\in \text{Z}\right)\mathrm{.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(2\right)}\end{array}}}\end{array}$ A két ,,vagy''-gyal kapcsolt egyenletet külön-külön kell megoldanunk, ezért mindkettőben $k$-val jelölhető a felvett paraméter. Az (1) és (2) egyenleteket a következőképpen írhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \text{cos}x-2k-\frac{1}{2}}& {\displaystyle =\text{sin}x\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(3\right)}\\ \hfill {\displaystyle \text{cos}x-2k-\frac{1}{2}}& {\displaystyle =-\text{sin}x\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(4\right)}\end{array}}}\end{array}$ és e két egyenlet diszjunkciója ekvivalens az eredeti egyenlettel. A (3) egyenletet négyzetre emelve, majd a $\text{sin}{}^{2}x=1-\text{cos}{}^{2}x$ azonosságot alkalmazva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^{2}x+{\left(2k+\frac{1}{2}\right)}^2-2\left(2k+\frac{1}{2}\right)\text{cos}x=1-\text{cos}{}^{2}x\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \text{cos}{}^{2}x-\left(4k+1\right)\text{cos}x+\left(4k^2+2k-\frac{3}{4}\right)=0.}\end{array}$ (5) Nyilvánvaló, hogy a (4) egyenlet négyzetre emelésével ugyancsak (5)-höz jutunk, ezért (3) és (4) diszjunkciója ekvivalens (5)-tel. (5) diszkriminánsa: $D={\left(4k+1\right)}^2-4\cdot 2\left(4k^2+2k-\frac{3}{4}\right)=-16k^2-8k+7$, ami csak $k=0$ esetén lesz nemnegatív, amikor $D=7$. Tehát (5) és egyben az eredeti egyenlet valós megoldásait a $\text{cos}x=\frac{4k+1\pm \sqrt[]{7}}{4}=\frac{1\pm \sqrt[]{7}}{4}$ egyenletekből kapjuk. Ebből $\text{cos}x=\mathrm{0,9114}$ vagy $\text{cos}x=-\mathrm{0,4114}$, ahonnan $x=\pm 0\mathrm{,}4240+2m\cdot \pi$; ill. $x=\pm 1\mathrm{,}995+2m\cdot \pi$ $\left(m\in \text{Z}\right)$ az összes megoldások. Az említett ekvivalenciák miatt ezek a megoldások kielégítik az eredeti egyenletet.  Makai Márton (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o. t.)   II. megoldás. Az első megoldás (3) egyenletéből $\text{cos}x-\text{sin}x=2k+\frac{1}{2}$. Ezt $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$-vel szorozva: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[]{2}}\cdot \text{cos}x-\frac{1}{\sqrt[]{2}}\cdot \text{sin}x}& {\displaystyle =\frac{4k+1}{2\cdot \sqrt[]{2}}\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \text{sin}\frac{\pi }{4}\cdot \text{cos}x-\text{cos}\frac{\pi }{4}\cdot \text{sin}x}& {\displaystyle =\frac{4k+1}{2\cdot \sqrt[]{2}}\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\\ \multicolumn{3}{c}{\text{<br>azaz}}\\ \hfill {\displaystyle \text{sin}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}& {\displaystyle =\frac{4k+1}{2\cdot \sqrt[]{2}}\mathrm{.}}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(6\right)}\end{array}}}\end{array}$ Ennek az egyenletnek csak akkor van megoldása, ha $\left|\frac{4k+1}{2\sqrt[]{2}}\right|\le 1$, amiből következik, hogy $k=0$. Ezután (6)-ból: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{1}{2\sqrt[]{2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan (4)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{1}{2\cdot \sqrt[]{2}}\mathrm{.}}\end{array}$ A két utóbbi egyenletből kapjuk a már ismert megoldásokat.  Lovász Zoltán, (Bonyhád, Perczel Mór Közg. Szki., IV. o.t.)   Megjegyzés: Lovász Zoltán a II. megoldás módszerével megoldotta a $\text{sin}\left(a\cdot \text{cos}x\right)=\text{cos}\left(b\cdot \text{sin}x\right)$ egyenletet.