Kezdőlap


Feladat:	F.3054	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Gröller Ákos , Király Csaba , Mann Zoltán , Orbán András , Perényi Márton , Sánta Zsuzsa , Tóth Gábor Zsolt , Ugron Balázs , Valkó Benedek , Véber Miklós
Füzet:	1995/december, 527 - 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: F.3054

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha $r (x)$ nem nulla, egész együtthatós polinom és $q (x) = r (x) p (x) + x$ , akkor $p (q (x))$ -ből $p (x)$ kiemelhető, sőt a két polinom hányadosa is egész együtthatós.
Legyen

\begin{matrix} p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}, \end{matrix}

ahol

a_{0}

...

a_{n}

egész számok.
A binomiális tétel alapján tetszőleges

k

pozitív egészre

\begin{matrix} \begin{matrix} q^{k} (x) = {(r (x) p (x) + x)}^{k} = \\ = (\binom{k}{0}) r^{k} (x) p^{k} (x) + (\binom{k}{1}) r^{k - 1} (x) p^{k - 1} (x) x + (\binom{k}{2}) r^{k - 2} (x) p^{k - 2} (x) x^{2} + ... \\ ... + (\binom{k}{k - 1}) r (x) p (x) x^{k - 1} + (\binom{k}{k}) x^{k} = \\ = ((\binom{k}{0}) r^{k} (x) p^{k - 1} (x) + (\binom{k}{1}) r^{k - 1} (x) p^{k - 2} (x) x + (\binom{k}{2}) r^{k - 2} (x) p^{k - 3} (x) x^{2} + ... \\ ... + (\binom{k}{k - 1}) r (x) x^{k - 1}) p (x) + x^{k} . \end{matrix} \end{matrix}

Az első tényezőt az egyszerűség kedvéért jelöljük

m_{k} (x)

-szel:

\begin{matrix} q^{k} (x) = m_{k} (x) p (x) + x^{k}, \end{matrix}

ahol

m_{k}

egész együtthatós polinom.
Ezeket az azonosságokat behelyettesítve

p (q (x))

-be:

\begin{matrix} \begin{matrix} p (q (x)) = \\ = a_{n} (m_{n} (x) p (x) + x^{n}) + a_{n - 1} (m_{n - 1} (x) p (x) + x^{n - 1}) + ... + a_{1} (m_{1} (x) p (x) + x) + a_{0} = \\ = (a_{n} m_{n} (x) + a_{n - 1} m_{n - 1} (x) + ... + a_{1} m_{1} (x)) p (x) + (a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}) = \\ = (a_{n} m_{n} (x) + a_{n - 1} m_{n - 1} (x) + ... + a_{1} m_{1} (x) + 1) p (x) . \end{matrix} \end{matrix}

Az első tényező most is egész együtthatós.
Ezután már csak az

r (x)

polinomot kell megválasztanunk, vigyázva arra, hogy

p (q (x))

szorzat alakjában mindkét tényező legalább elsőfokú legyen. Ez a

p (x)

tényezőre biztosan teljesül. A másik tényező pedig pontosan akkor legalább elsőfokú, ha

p (q (x))

foka nagyobb, mint

p (x)

foka. Mivel

(p (q (x))

foka

p (x)

és

q (x)

fokszámainak szorzata, ez akkor igaz, ha

q (x)

legalább másodfokú. Ha

p (x)

legalább másodfokú, akkor

q (x)

is legalább másodfokú. Ha

p (x)

elsőfokú, akkor szükséges és elégséges az, ha

r (x)

legalább elsőfokú.
Tehát, ha

p (x)

elsőfokú, akkor legyen

r (x) = x

, azaz

q (x) = x p (x) + x

. Ha pedig

p (x)

legalább másodfokú, akkor legyen

r (x) = 1

és

q (x) = p (x) + x

Tóth Gábor Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján