Kezdőlap


Feladat:	F.3052	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1996/február, 86 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Tizes alapú számrendszer, Maradékosztályok, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: F.3052

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bebizonyítjuk, hogy tetszőleges $k$ pozitív egészhez léteznek olyan $x_{1}$ , $...$ , $x_{k}$ pozitív egészek, amelyekre

\begin{matrix} x_{1} + S (x_{1}) = x_{2} + S (x_{2}) = ... = x_{k} + S (x_{k}) . \end{matrix}

(1)

Ez a

k = 3

esetben megválaszolja a feltett kérdést.
Állításunkat teljes indukcióval fogjuk igazolni. A

k = 1

esetben nyilván bármilyen

x_{1}

megfelelő.
Tegyük fel, hogy

x_{1}

...

x_{k}

olyan számok, amelyekre (1) teljesül. Konstruálni fogunk olyan

y_{1}

...

y_{k + 1}

számokat, amelyekre

\begin{matrix} y_{1} + S (y_{1}) = y_{2} + S (y_{2}) = ... = y_{k + 1} + S (y_{k + 1}) . \end{matrix}

Legyen

q

olyan pozitív egész, amelyre

10^{q}

nagyobb, mint

x_{i} + S (x_{i})

, és

p

egyelőre tetszőleges pozitív egész,

a

egy számjegy. (Ezeket később pontosan definiáljuk.) Legyen

A = ((10^{p} - 1) \cdot 10 + a) \cdot 10^{q}

; ennek a számnak a

10

-es számrendszerbeli alakja

99 ... 9 a 00 ... 0

, ahol a

9

-esek száma

p

, a

0

-k száma

q

, továbbá

y_{1} = A + x_{1}

y_{2} = A + x_{2}

...

y_{k} = A + x_{k}

, és

y_{k + 1} = 10^{p + q + 1}

.
Könnyű ellenőrizni, hogy

y_{k + 1} + S (y_{k + 1}) = 10^{p + q + 1} + 1

, és

1 \leq i \leq k

esetén

\begin{matrix} y_{i} + S (y_{i}) = (A + x_{i}) + (p \cdot 9 + a + S (x_{i})) = (x_{i} + S (x_{i})) + 10^{p + q + 1} - 10^{q + 1} + 9 p + (10^{q} + 1) a . \end{matrix}

Az indukciós feltevés szerint ez a szám nem függ

i

-től. A

p

és az

a

értékét úgy kell megválasztanunk, hogy

\begin{matrix} (x_{i} + S (x_{i})) + 10^{p + q + 1} - 10^{q + 1} + 9 p + (10^{q} + 1) a = 10^{p + q + 1} + 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (x_{i} + S (x_{i})) + (10^{q} + 1) a + 9 p = 10^{q + 1} + 1 \end{matrix}

(2)

teljesüljön.
Most definiáljuk az

a

számjegyet és a

p

számot. Legyen

0 \leq a \leq 8

olyan szám, amelyre

\begin{matrix} (x_{i} + S (x_{i})) + 2 a \equiv 2 (mod 9) \end{matrix}

teljesüljön. (Ilyen

a

létezik, mert a

0

2

...

16

számok teljes maradékrendszert alkotnak modulo

9

.) Ezzel az

a

-val (2) két oldala kongruens modulo

9

, ezért létezik olyan

p

egész szám, amelyre egyenlőség áll. A

p

pozitív, mert

\begin{matrix} 9 p = 10^{q + 1} + 1 - (x_{i} + S (x_{i})) - (10^{q} + 1) a > 10^{q + 1} + 1 - 10^{q} - (10^{q} + 1) \cdot 8 = 10^{q} - 7 > 0. \end{matrix}

Találtunk tehát olyan

p

pozitív egészet és

a

számjegyet, amelyek esetén

\begin{matrix} y_{1} + S (y_{1}) = y_{2} + S (y_{2}) = ... = y_{k + 1} + S (y_{k + 1}) . \end{matrix}

Ezzel állításunkat igazoltuk, a feladat kérdésére a válasz igenlő.

Megjegyzés. Sok más konstrukció létezik. Még az is teljes megoldás, ha valaki megad egy konkrét számhármast; például

\begin{matrix} \begin{matrix} x & = 999 999 999 999 891, \\ y & = 999 999 999 999 900, \\ z & = 1 000 000 000 000 008 \end{matrix} \end{matrix}

esetén

x + S (x) = y + S (y) + S (z) = 1 000 000 000 000 017