Feladat:	F.3047	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Elek Péter ,  Farkas Péter ,  Lovász Zoltán ,  Pap Gyula
Füzet:	1995/október, 419. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/január: F.3047

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Szorozzuk meg 2-vel az egyenlőtlenséget és rendezzük a bal oldalra: $\begin{array}{c}{\displaystyle n+2\sum _{1\le i<j\le n}^{}\text{cos}\left(x_j-x_i\right)\ge 0.}\end{array}$ Felhasználva a $\text{cos}{}^{2}a+\text{sin}{}^{2}a=1$ és $\text{cos}\left(a-b\right)=\text{cos}a\text{cos}b+\text{sin}a\text{sin}b$ azonosságokat, ez ekvivalens a következő állítással: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\text{cos}{}^2{x}_i+\text{sin}{}^2{x}_i\right)+2\sum _{1\le i<j\le n}^{}\left(\text{cos}{x}_j\text{cos}{x}_i+\text{sin}{x}_j\text{sin}{x}_i\right)\ge \mathrm{0,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\sum _{i=1}^n\text{cos}{x}_i\right)}^2+{\left(\sum _{i=1}^n\text{sin}{x}_i\right)}^2\ge 0.}\end{array}$ Ez az állítás pedig nyilvánvalóan igaz.   II. megoldás. A bizonyításhoz komplex számokat és a komplex exponenciális függvény tulajdonságait használjuk fel. Hogy ne használjuk két különböző célra az $i$ betűt, a bizonyítandó állítást $\begin{array}{c}{\displaystyle n+2\sum _{1\le j<k\le n}^{}\text{cos}\left(x_k-x_j\right)\ge 0}\end{array}$ alakra írjuk át, $i$-vel pedig a képzetes egységet jelöljük. Ismeretes, hogy $e^{ia}=\text{cos}a+i\text{sin}a$. Ezt figyelembe véve $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 0\le {\left|\sum _{j=1}^n{e}^{i{x}_j}\right|}^2=\left(\sum _{j=1}^n{e}^{i{x}_j}\right)\overline{\left(\sum _{k=1}^n{e}^{i{x}_k}\right)}=\left(\sum _{j=1}^n{e}^{i{x}_j}\right)\left(\sum _{k=1}^n{e}^{-i{x}_k}\right)=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n{e}^{i\left(x_j-x_k\right)}=}\\ \hfill {\displaystyle =\sum _{j=1}^n{e}^{i\left(x_j-x_j\right)}+2\sum _{1\le j<k\le n}^{}\left(e^{i\left(x_j-x_k\right)}+e^{i\left(x_k-x_j\right)}\right)=n+2\sum _{1\le j<k\le n}^{}\text{cos}\left(x_k-x_j\right)\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$  Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)