Kezdőlap


Feladat:	C.416	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Badics Balázs , Berki Csaba , Bosznay Tamás , Czirok Levente , Fejős Ibolya , Gueth Krisztián , Hajdú Gábor , Hajdú Viktória , Harrach Nóra Viola , Horváth Gábor , Kocsis Pál , Lengyel Tímea , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nagy Andrea , Papp Dávid , Terpai Tamás , Varga Eszter , Zaupper Bence
Füzet:	1996/szeptember, 347 - 349. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: C.416

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $P$ pont vetületét az $A B C$ alapsíkra $P'$ -vel, az $A B C$ háromszögben a $C$ -ből induló magasság talppontját $N$ -nel, az $A B P$ háromszögben a $P$ -ből induló magasság talppontját $M$ -mel, a $C$ -ből induló testmagasságnak az $A B P$ síkkal való metszéspontját $T$ -vel.
A tetraéder térfogata $V = \frac{a_{t} \cdot m}{3}$ ; tekintsük először alapnak az $A B C$ háromszöget, az ehhez tartozó testmagasság $P P'$ ; másodszor legyen az alap az $A B P$ háromszög, az ehhez tartozó testmagasság a $C T$ . A térfogatok egyenlőségéből és abból, hogy $P P' < C T$ , (a feltétel szerint) következik, hogy

\begin{matrix} V = \frac{t_{A B C} \cdot P P'}{3} = \frac{t_{A B P} \cdot C T}{3}, tehát t_{A B C} > t_{A B P} . \end{matrix}

A két háromszögben az

A B

oldal közös, ezért

C N > P M

, vagyis a

C

pont messzebb van az

A B

szakasztól, mint a

P

pont.
Az

A B

egyenestől

C N

távolságra lévő pontok a síkban egy, az

A B

-től

C M

távolságra húzott párhuzamos egyenespáron vannak,

P

vetülete tehát ezen a sávon belül lesz. Hasonlóképpen kapunk egy sávot a

B C

, ill.

A C

egyenesek körül. A három sáv közös részébe, az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögbe (esetleg határára) esnek azok a pontok, amelyek eleget tesznek a feladat követelményének.
A szakaszok párhuzamosságából könnyen igazolható, hogy az

A_{1}

B_{1}

C_{1}

metszéspontok létrejönnek és egy, az

A B C

-hez hasonló háromszöget alkotnak.

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög tetszőleges

P'

belső-, (vagy határ-) pontjának az

A B

B C

C A

oldalaktól való távolságai rendre kisebbek a háromszög megfelelői magasságainál, hiszen

P'

benne van mindhárom sávban.
Fordítva, állítsunk

P'

-ben merőlegest az

A B C

síkra és vegyünk fel ezen egy

P

pontot úgy, hogy

P

-nek az

A B

B C

C A

egyenesektől való távolságai még mindig kisebbek legyenek az

A B C

háromszög megfelelő magasságainál.
Ha az

A B P

háromszögben

P M < C N

, akkor

t_{A B P} < t_{A B C}

, ami azt jelenti, hogy

P P' < C T

, ugyanígy bizonyítható, hogy

P P'

a tetraéder másik 2 magasságánál is kisebb, tehát valóban

P P'

a legkisebb a 4 testmagasság közül. A keresett mértani hely tehát az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög belső és határon lévő pontjai.

Horváth Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o.t.)