Kezdőlap


Feladat:	C.411	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1996/április, 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/november: C.411

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalán egy $n$ tényezős szorzat áll. Minden tényezőt szorozzuk meg $2$ -vel, ekkor összesen $2^{n}$ -nel szoroztunk és a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 2 cos α \cdot 2 cos 2 α \cdot 2 cos 4 α ... 2 cos 2^{n - 1} α = 1 \end{matrix}

(2)

α

-ra adott feltételből következik, hogy

sin α \neq 0

. Szorozzuk meg (2) mindkét oldalát

sin α

-val.

sin α \cdot 2 cos α = 2 sin α cos α = sin 2 α

, ezt szorozva a következő tényezővel

sin 2 α 2 cos 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α = sin 4 α

, és így tovább. Végül azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin 2^{n} α = sin α . \end{matrix}

α = \frac{180^{\circ}}{1 + 2^{n}}

feltételből fejezzük ki

2^{n} α

-t.

(1 + 2^{n}) α = 180^{\circ}

, amiből

2^{n} α = 180^{\circ} - α

, ezt behelyettesítve az egyenletbe:

\begin{matrix} sin (180^{\circ} - α) = sin α, \end{matrix}

ez pedig valóban teljesül.