Kezdőlap


Feladat:	C.407	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hajdú Viktória , Kunszenti-Kovács Dávid , Oláh Tünde , Papp Dávid
Füzet:	1996/március, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: C.407

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a külső szögfelezők által alkotott háromszög csúcsait $A'$ , $B'$ , $C'$ -vel, az ábra szerint; az $A B C$ háromszög belső szögfelezőinek metszéspontját $O$ -val, szögeit $α$ , $β$ , $γ$ -val. Tudjuk, hogy az egy csúcshoz tartozó belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra, amiből következik, hogy az $A O B C'$ négyszög (és hasonlóképpen az $A O C B'$ , $B O C A'$ négyszög) húrnégyszög.
Az $A O B C'$ húrnégyszögben a $65^{\circ}$ -os szöget az $O$ csúcsnál lévő szög egészíti ki $180^{\circ}$ -ra, az $A O B$ háromszögben pedig $\frac{α}{2}$ és $\frac{β}{2}$ összege, amiből következik. hogy

\begin{matrix} \frac{α}{2} + \frac{β}{2} = 65^{\circ} . \end{matrix}

(1)

Hasonlóan az

A O C B'

húrnégyszögből

\begin{matrix} \frac{α}{2} + \frac{γ}{2} = 75^{\circ}, \end{matrix}

(2)

míg a

B O C A'

húrnégyszögből

\begin{matrix} \frac{γ}{2} + \frac{β}{2} = 40^{\circ} . \end{matrix}

(3)

A (2) egyenletből (1)-et kivonva

\frac{γ}{2} - \frac{β}{2} = 10^{\circ}

; a (3) egyenlet szerint

\frac{γ}{2} + \frac{β}{2} = 40^{\circ}

, ahonnan

γ = 50^{\circ}

β = 30^{\circ}

, innen pedig

α = 100^{\circ}