Kezdőlap


Feladat:	C.405	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kállay Csilla
Füzet:	1996/május, 275 - 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: C.405

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldalon legalább $1000 A^{2}$ szerepel, míg a jobb oldalon legfeljebb $1000 (A + 1) - 1$ , ezért $A^{2} < A + 1$ . Így $A = 1$ lehet csak, mert $A$ pozitív egész.
Ezt helyettesítve a

\begin{matrix} (100 A + 10 B + C) (10 A + D) = 1000 A + 100 D + 10 D + C \end{matrix}

egyenletbe, a műveletek elvégzése után a

\begin{matrix} 100 D + 100 B + 10 B D + 10 C + C D = 110 D + C \end{matrix}

(1)

egyenlőséghez jutunk. Innen

\begin{matrix} 100 B + 10 B D + 10 C + C D = 10 D + C \end{matrix}

(2)

adódik. A (2) egyenlőség jobb oldalán 100-nál kisebb szám áll, ezért csak

B = 0

lehetséges. Ezt behelyettesítve a

\begin{matrix} 10 C + C D = 10 D + C \end{matrix}

egyenlőséget nyerjük. Átalakítva:

10 (D - C) = C (D - 1)

. A bal oldalon álló szám osztható 5-tel, ami csak úgy lehet, hogy a jobb oldal valamelyik tényezője 5-nek többszöröse. Mivel sem

C

, sem

D - 1

nem lehet 9-nél nagyobb, azért négy eset lehetséges:

D - 1 = 0

D - 1 = 5

C = 5

vagy

C = 0

.
Az első esetben a szorzás

101 \cdot 11 = 1111

, a másodikban

104 \cdot 16 = 1664

, a harmadik esetben

105 \cdot 19 = 1995

, míg végül

100 \cdot 10 = 1000

.
A feladat követelményeinek tehát ez a négy szorzás tesz eleget.

Megjegyzés. A beküldők egy része eleve feltételezte ‐ a szokásoknak megfelelően ‐, hogy különböző betűk különböző számokat jelölnek. Így aztán csak 2 megoldást kapott. Ezek a dolgozatok csak 4 pontot értek. Tanulság: a feladat szövegét mindig gondosan olvassuk el, és semmi olyat ne képzeljünk bele, ami nincs odaírva.