Kezdőlap


Feladat:	C.404	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Czirok Levente
Füzet:	1996/április, 203 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú gúlák, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/szeptember: C.404

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szabályos négyoldalú gúla alaplapja négyzet, oldallapjai egyenlő szárú háromszögek. Oldallapjának magassága, azaz az oldalmagassága az egyenlő szárú háromszög alapjához tartozó magasság.
A gúla térfogata $V = \frac{a_{t} \cdot m}{3}$ , ahol $a_{t}$ a négyzet területe, $m$ a gúla magassága.
Jelölje $x$ az alapél (négyzetoldal) felét. Az $O F B$ derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} x^{2} = B O^{2} - O F^{2} \end{matrix}

O O' F

derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} m = \sqrt[]{O F^{2} - O' F^{2}}, ahol O F = 1, O' F^{2} = x^{2} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva a gúla térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{{(2 x)}^{2} \sqrt[]{1^{2} - x^{2}}}{3} = \frac{4 x^{2} \sqrt[]{1 - x^{2}}}{3} . \end{matrix}

Írjuk fel a térfogatot

B O

mindkét adott értékére. Ha

B O = 1,25

x^{2} = (1, 25^{2} - 1^{2})

\begin{matrix} V_{1} = \frac{4 (1, 25^{2} - 1^{2}) \sqrt[]{1 - (1, 25^{2} - 1)}}{3} \approx 0,49615. \end{matrix}

B O = 1,33

x^{2} = (1, 33^{2} - 1^{2})

\begin{matrix} V_{2} = \frac{4 (1, 33^{2} - 1^{2}) \sqrt[]{1 - (1, 33^{2} - 1^{2})}}{3} \approx 0,4928. \end{matrix}

Láthatjuk, hogy a második esetben, noha az oldalél hosszabb, a gúla térfogata mégis kisebb lesz.