Kezdőlap


Feladat:	C.402	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czirok Levente , Espák Miklós , Hajdú Viktória , Sarlós Ferenc , Szilasi Zoltán
Füzet:	1996/március, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/szeptember: C.402

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindkét oldal értékkészlete a nemnegatív számok halmaza, legkisebb értékük $0$ . Ezt a jobb oldal csak az $x = - \frac{1}{3}$ helyen veszi fel, a bal oldal pedig pontosan akkor, ha egyidejűleg

\begin{matrix} a = - x = \frac{1}{3}, b = - 2 x = \frac{2}{3}, és c = - 2 x = \frac{2}{3} . \end{matrix}

a

b

c

számhármasnak ez az értékrendszere tehát szükséges feltétele annak, hogy az egyenlőség azonosság legyen.
A feltétel egyúttal elegendő is, ugyanis behelyettesítés és kiemelések után az egyenlőséget úgy alakíthatjuk, hogy

\begin{matrix} {(x + \frac{1}{3})}^{2} + 2^{2} {(x + \frac{1}{3})}^{2} + 2^{2} {(x + \frac{1}{3})}^{2} = 3^{2} {(x + \frac{1}{3})}^{2}, \end{matrix}

(1)

ez pedig minden

x

-re érvényes, akkor is, ha

x + \frac{1}{3} \neq 0

, mert

1 + 2^{2} + 2^{2} = 3^{2}

Megjegyzések. 1. A legtöbb beküldő felbontotta a zárójeleket, ezáltal hosszadalmas munka ,,szakadt a nyakába''. Egy részük szerencsére érdekes megállapításokhoz juthatott cserébe.
Aki így kezdett a feladathoz, a kívánt azonosság rendezése után a bal oldalon elsőfokú polinomhoz juthatott:

\begin{matrix} 2 (a + 2 b + 2 c - 3) x + (a^{2} + b^{2} + c^{2} - 1) = 0. \end{matrix}

(2)

Ez akkor és csak akkor teljesül minden

x

-re, ha a zárójelek értéke 0. Ebből egyenletrendszer adódik az

a

b

c

ismeretlenekre. Kevésnek ígérkezik, hogy három ismeretlenre csak két egyenletünk van, azonban ez az ,,előítéletünk'' csak az elsőfokú egyenletrendszerekre vonatkozó ismereteinkből táplálkozik. Egyértelmű megoldást fogunk kapni, mégpedig ismét

c = b = \frac{2}{3}

a = \frac{1}{3}

lesz az egyetlen megoldás.
2. Többen egy harmadik egyenletet ,,teremtettek'' maguknak a

b = c

feltételezéssel, azzal az indoklással, hogy

b

és

c

szerepe ,,egyenrangú''. Szerencsére a kiszámított értékek is eleget tesznek ennek.
3. Elég sokan észrevették, hogy a (2)-beli együtthatók eltűnése a koordináta-geometriai ,,nyelvén'' tetszetősen értelmezhető az

a

b

c

tengelyekkel kifeszített térbeli derékszögű koordináta-rendszerben. A második zárójelbeli

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \end{matrix}

követelmény az origó körüli egység sugarú gömb egyenlete, az elsőt pedig átrendezve

\begin{matrix} \frac{a}{3} + \frac{b}{3 / 2} + \frac{c}{3 / 2} = 1, \end{matrix}

annak a síknak az egyenletét látjuk, amely a tengelyek pozitív felét az origótól rendre

3

3 / 2

3 / 2

egységnyi távolságban metszi. Ez a sík éppen érinti a gömböt az

(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

pontban.
4. A sikertelen dolgozatok beküldői közül sokan ‐ indokolatlanul ‐ csak az egész számok körében keresték a megoldást.
5. A fenti meggondolások természetesen csak akkor érvényesek, ha ‐ szokás szerint ‐ a valós számkörben maradunk. Érdemes felfigyelni azonban arra, mi történik, ha kilépünk a komplex számkörbe. A kapott

\begin{matrix} a + 2 b + 2 c = 3 a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 \end{matrix}

egyenletrendszerben tekintsük

a

-t paraméternek. Ekkor nem túl bonyolult átalakítással azt nyerjük, hogy

\begin{matrix} {(b - c)}^{2} = b^{2} - 2 b c + c^{2} = 2 (1 - a^{2}) - {(\frac{3 - a}{2})}^{2} = - {(\frac{3 a - 1}{2})}^{2} . \end{matrix}

Így a következő két, paraméteres megoldásrendszer adódik:

\begin{matrix} (a, \frac{3 - a}{4} + \frac{3 a - 1}{4} i, \frac{3 - a}{4} - \frac{3 a - 1}{4} i) (a, \frac{3 - a}{4} - \frac{3 a - 1}{4} i, \frac{3 - a}{4} + \frac{3 a - 1}{4} i) . \end{matrix}

Ez olyan formájú, mint két egyenes paraméteres egyenlete a térben. Úgy is szoktuk ezt interpretálni, hogy a fent szereplő sík és gömb ebben a két (metsző) egyenesben metszi egymást. Ez nem valami érthetetlen dolog, hiszen egy sík egy forgáskúpot is metszhet metsző egyenespárban. Bizony, a komplex térben nincs sok különbség a kúp és a gömb között.
Nos, mint mondottuk, ez a két egyenes egy pontban metszi egymást (hiszen egy síkban vannak!); érdekes módon ez a metszéspont a valós térbe esik. Ez a pont a sík érintési pontja a gömbön.
Ha a sík metszi vagy ,,elkerüli'' a gömböt, akkor más a helyzet. Nézzük például az

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2

gömböt. Ezt az

a = 1

összefüggéssel adott sík egy körben (

b^{2} + c^{2} = 1

) metszi. Noha ennek is vannak komplex pontjai, de ez mégis kör marad. Ha a síkot az

a = 2

egyenlet definiálja, akkor a ,,metsző kör'' egyenlete

b^{2} + c^{2} = - 2

. Ez is kör, de ennek csak komplex pontjai vannak. Az, hogy eredeti példánkban a metszet egy egyenespár volt, annak tudható be, hogy az érintési viselkedés nem ,,reguláris'' (rendes, szabályos), hanem ,,szinguláris'' (szabálytalan, kivételes).