Feladat: C.394 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bakonyi Péter ,  Bákor Krisztina ,  Bálint Olivér ,  Baranyai Szabolcs ,  Egyed Gábor ,  Fülöp Levente ,  Gócza Katalin ,  Gueth Krisztián ,  Kálmán Krisztina ,  Kocsis Pál ,  Kolláth Kornél ,  Kovács Károly ,  Kutalik Zoltán ,  Lőrinczi Ferenc ,  Lukács Erika ,  Madarász József ,  Molnár Bence ,  Némedi Richárd ,  Pálfi Szilárd ,  Pápai Tivadar ,  Papp Ágnes ,  Rácz Enikő ,  Sarlós Ferenc ,  Szabadszállási Tibor ,  Szita István ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh László 
Füzet: 1995/december, 522 - 523. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Osztók száma, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/április: C.394

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Egy pozitív szám osztóit párokba tudjuk állítani úgy, hogy egy-egy pár szorzata magát a számot adja. A szorzat tényezői közül a kisebbik értéke legfeljebb n. (Ugyanis, ha mindkét tényező nagyobb lenne n-nél, szorzatuk nagyobb lenne n-nél. Például 12 osztóit így párba állítva: 1,  12;  2,  6;  3,  4, és 3<12, vagy 36 osztói 1,  36;  2,  18,  3,  12,  4,  9; és a pár nélkül maradt 6=36.)
Az n szám osztóinak száma tehát legfeljebb 2[n] lehet. (A szögletes zárójel a szám egészrészét ‐ a nála nem nagyobb egészek közül a legnagyobbat ‐ jelöli.)
A keresett pozitív egész számok így csak azon n értékek közül kerülhetnek ki, amelyekre
n22[n],ígyn4[n]4n.
Innen n4, ezért n értéke legfeljebb 16 lehet, s mivel esetünkben n2 pozitív egész, n értéke 2,  4,  6,  8,  10,  14 vagy 16.
Ha felírjuk ezek osztóit, láthatjuk, hogy csak a 8 és 12 tesz eleget a feladat követelményeinek.
 
II. megoldás. Mivel az osztók száma egész, ezért n=2k alakú. A 2 osztóinak a száma 222 és 4 osztóinak a száma 342, így k3. Eszerint 1k-2<k-1<k. Ha k-1 és k-2 egyike sem volna (2k)-nak osztója, akkor (2k)-nak az 1-től k-ig terjedő számok között legfeljebb k-2 darab osztója volna. Tekintettel arra, hogy már (k+1)-nek a kétszerese is nagyobb (2k)-nál, ezért a k-nál nagyobb számok közül egyedül a 2k osztója n-nek; és így az osztók száma legfeljebb k-1 lenne. Az osztók száma tehát csak akkor lehet legalább k, ha e két szám valamelyike osztója n-nek.
Ha 2k osztható (k-1)-gyel, akkor 2=2k-2(k-1) is osztható (k-1)-gyel. Ha 2k osztható (k-2)-vel, akkor 4=2k-2(k-2) is osztható (k-2)-vel. k3 miatt az első esetben k-1=2; a második esetben k-2 vagy 1, vagy 2, vagy 4 ‐ hiszen ezek 4-nek az összes pozitív osztói. Ennek megfelelően a k-ra szóba jövő értékek 3; illetve 3, 4 és 6. Tehát a lehetséges megoldások 6, 8 és 12. Mint az előző megoldásnál láttuk, ezek közül csak az n=8 és n=12 felel meg.