|
Feladat: |
C.394 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bakonyi Péter , Bákor Krisztina , Bálint Olivér , Baranyai Szabolcs , Egyed Gábor , Fülöp Levente , Gócza Katalin , Gueth Krisztián , Kálmán Krisztina , Kocsis Pál , Kolláth Kornél , Kovács Károly , Kutalik Zoltán , Lőrinczi Ferenc , Lukács Erika , Madarász József , Molnár Bence , Némedi Richárd , Pálfi Szilárd , Pápai Tivadar , Papp Ágnes , Rácz Enikő , Sarlós Ferenc , Szabadszállási Tibor , Szita István , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Végh László |
Füzet: |
1995/december,
522 - 523. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Osztók száma, C gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/április: C.394 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Egy pozitív szám osztóit párokba tudjuk állítani úgy, hogy egy-egy pár szorzata magát a számot adja. A szorzat tényezői közül a kisebbik értéke legfeljebb . (Ugyanis, ha mindkét tényező nagyobb lenne -nél, szorzatuk nagyobb lenne -nél. Például 12 osztóit így párba állítva: 1, 12; 2, 6; 3, 4, és , vagy 36 osztói 1, 36; 2, 18, 3, 12, 4, 9; és a pár nélkül maradt .) Az szám osztóinak száma tehát legfeljebb lehet. (A szögletes zárójel a szám egészrészét ‐ a nála nem nagyobb egészek közül a legnagyobbat ‐ jelöli.) A keresett pozitív egész számok így csak azon értékek közül kerülhetnek ki, amelyekre Innen , ezért értéke legfeljebb 16 lehet, s mivel esetünkben pozitív egész, értéke 2, 4, 6, 8, 10, 14 vagy 16. Ha felírjuk ezek osztóit, láthatjuk, hogy csak a 8 és 12 tesz eleget a feladat követelményeinek.
II. megoldás. Mivel az osztók száma egész, ezért alakú. A 2 osztóinak a száma és 4 osztóinak a száma , így . Eszerint . Ha és egyike sem volna -nak osztója, akkor -nak az 1-től -ig terjedő számok között legfeljebb darab osztója volna. Tekintettel arra, hogy már -nek a kétszerese is nagyobb -nál, ezért a -nál nagyobb számok közül egyedül a osztója -nek; és így az osztók száma legfeljebb lenne. Az osztók száma tehát csak akkor lehet legalább , ha e két szám valamelyike osztója -nek. Ha osztható -gyel, akkor is osztható -gyel. Ha osztható -vel, akkor is osztható -vel. miatt az első esetben ; a második esetben vagy 1, vagy 2, vagy 4 ‐ hiszen ezek 4-nek az összes pozitív osztói. Ennek megfelelően a -ra szóba jövő értékek 3; illetve 3, 4 és 6. Tehát a lehetséges megoldások 6, 8 és 12. Mint az előző megoldásnál láttuk, ezek közül csak az és felel meg.
|
|