Kezdőlap


Feladat:	C.393	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bálint Olivér , Baranyai Szabolcs , Béczi Rita , Borbély Eszter , Csorna Szilvia , Gorcsa Anna , Gulyás Erika , Harrach Nóra Viola , Hegedűs Dalma , Hegedűs Éva , Hegyközi József , Hímer Zsuzsanna , Horváth Gábor , Józsa Katalin , Kiss Kincső , Kocsis Pál , Kolláth Kornél , Némedi Richárd , Németh László , Németh Péter , Paál Judit , Papp Ágnes , Papp Eszter , Pastyik Noémi , Rácz Enikő , Sarlós Ferenc , Szedmák Diána , Szilágyi Dániel , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Végh László , Verbovszki Andrea , Wagner Róbert
Füzet:	1996/január, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lottó, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/április: C.393

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 7, 13, 28, 46, 75 szomszédai: 6, 8; 12, 14; 27, 29; 45, 47; 74, 76; ez összesen 10 szám és ezen kívül marad még 80 szám. Azt, hogy a kihúzott számok közül legalább négy a szomszédos számok közül való, azt jelenti, hogy legfeljebb 1, de lehet, hogy egy kihúzott szám sem szerepel a többi 80 szám között.
Két esetet különböztetünk meg:
a) egy számnak mindkét szomszédja szerepelhet, vagy mindegyiknek legfeljebb csak az egyik szomszédja szerepelhet a kitöltésben.
Ha mindkét szomszéd szerepelhet, és nincs megjelölt szám a többi 80 között; ez

\begin{matrix} (\binom{10}{5}) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 252 -féleképpen \end{matrix}

lehetséges.
Ha van egy megjelölt szám a 80 között, ez 80 eset, a többi 4 szám a 10 szomszéd közül való; ez

(\binom{10}{4})

eset, ekkor az összes esetek száma;

\begin{matrix} 80 (\binom{10}{4}) = 16 800, \end{matrix}

vagyis az első esetben a lehetőségek száma,

17 052

.
b) A második értelmezésben, ha mindig csak az egyik szomszéd fordulhat elő, és nincs megjelölt szám a többi 80 között, a lehetséges esetek száma

2^{5}

. Ha van szám a 80 között, akkor a lehetséges kitöltések száma

80 \cdot 5 \cdot 2^{4}

ami összesen

\begin{matrix} 80 \cdot 5 \cdot 2^{4} + 2^{5} = 6 432. \end{matrix}

Láthatjuk, hogy mindkét esetben elég sok az olyan kitöltési lehetőség, amelyben az általunk tippelt számok a nyertes számok szomszédjai. (Ezért nem is érdemes olyan nagyon bosszankodni a húzás ilyen kimenetelén

...

)

Paál Judit, (Siófok, Perczel M. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján.

Megjegyzések. A lottóhúzásra ,,panaszkodók'' esetében persze az a valószínű, hogy kitöltésükben a nyertes számok nem szerepeltek, tehát a ,,maradék'' nem 80, csak 75 szám.
2. Kissé módosulna a feladat, ha az 1 vagy a 90 szerepelne a kihúzott számok között, hiszen ezeknek csak egy szomszédjuk van.