Kezdőlap


Feladat:	C.392	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Egyed Gábor , Gerdán Csongor , Hajdú Viktória , Hegedűs Dalma , Nagy Andrea , Sarlós Ferenc , Terpai Tamás
Füzet:	1995/december, 521 - 522. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Heron-képlet, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: C.392

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A metszet-háromszög mindegyik oldala egy-egy olyan derékszögű háromszög átfogója, amelynek befogói az $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ távolságok közül valamelyik kettő; ezért Pitagorasz tételét felhasználva a háromszög $a$ , $b$ , $c$ oldalai:

\begin{matrix} a = \sqrt[]{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}, b = \sqrt[]{a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}, c = \sqrt[]{a_{3}^{2} + a_{1}^{2}} . \end{matrix}

(1)

A háromszög területét ki tudjuk számítani az oldalak ismeretében. A Heron-képlet szerint

T = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)}

, ahol

s

a kerület felét jelöli. Írjuk ezt be az összefüggésbe, innen azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} T = \frac{1}{4} \sqrt[]{[(a + b) + c] [(a + b) - c] [(a - b) + c] [c - (a - b)]} . \end{matrix}

(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

azonosság többszöri felhasználása után kapjuk, hogy

\begin{matrix} T = \frac{1}{4} \sqrt[]{(a^{2} + b^{2} - c^{2} + 2 a b) (c^{2} - a^{2} - b^{2} + 2 a b)} . \end{matrix}

Írjuk be (1)-ből az

a

b

c

kifejezéseit; rendezés után

\begin{matrix} \begin{matrix} T & = \frac{1}{4} \sqrt[]{[2 \sqrt[]{(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (a_{2}^{2} + a_{3}^{2})} + 2 a_{2}^{2}] [2 \sqrt[]{(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (a_{2}^{2} + a_{3}^{2})} - 2 a_{2}^{2}]} = \\ = \frac{1}{4} \sqrt[]{4 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) - 4 a_{2}^{4}} = \frac{1}{2} \sqrt[]{a_{1}^{2} a_{2}^{2} + a_{2}^{2} a_{3}^{2} + a_{3}^{2} a_{1}^{2}}, \end{matrix} \end{matrix}

ahol a további átalakítások során ismételten felhasználtuk az előző azonosságot.

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Ált. Isk., 8. o.t.)