Feladat:	C.390	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Borbély Eszter ,  Egyed Gábor ,  Majlender Péter
Füzet:	1995/december, 519 - 520. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Paraméteres egyenlőtlenség-rendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: C.390

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Adjuk össze a két egyenlőtlenséget és alakítsuk át a következőképpen: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{2}-2t\mathrm{.}}\end{array}$ 1. Ha $\frac{1}{2}-2t<0$,  $t>\frac{1}{4}$, akkor az egyenlőtlenségrendszernek nincs megoldása. 2. Ha $\frac{1}{2}-2t=0$,  $t=\frac{1}{4}$, akkor 1 megoldás van, az $x=y=\frac{1}{2}$. Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ez valóban megoldása mindkét egyenlőtlenségnek. 3. Ha $\frac{1}{2}-2t>0$,  $t<\frac{1}{4}$, akkor végtelen sok megoldás van. Ehhez megmutatjuk, hogy még olyan megoldás is végtelen sok van, ahol $x=y$. Ugyanis $x=y$ esetén mindkét eredeti egyenlőtlenség a következő alakban írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\ge x^2+t\mathrm{,}\text{átalakítva:}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4}-t\mathrm{.}}\end{array}$ Oldjuk meg $x$-re az egyenlőtlenséget; azt kapjuk hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}-\sqrt[]{\frac{1}{4}-t}\le x\le \frac{1}{2}+\sqrt[]{\frac{1}{4}-t}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát valóban végtelen sok megoldás van. Az egyenlőtlenségrendszernek tehát csak a $t=\frac{1}{4}$ érték mellett van egyetlen megoldása.   II. megoldás. Három esetet különböztetünk meg. 1. Ha nincs megoldás, akkor természetesen nincs pontosan egy megoldás. 2. Ha van olyan megoldás, amikor $x\ne y$, akkor ezeket felcserélve két megoldást kapunk, az $\left(x\mathrm{,}y\right)$ és $\left(y\mathrm{,}x\right)$ párokat, tehát nincs pontosan egy megoldás. 3. Csak olyan megoldás van, amelyre $x=y$. Ekkor a két egyenlőtlenség helyett tekinthetjük az $x\ge x^2+t$ egyenlőtlenséget, amely az ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4}-t$ egyenlőtlenséggel ekvivalens. Ennek az egyenlőtlenségnek nyilván nincs megoldása, ha $\frac{1}{4}-t<0$, és több megoldása van, ha $\frac{1}{4}-t>0$. Akkor lehet pontosan egy megoldása, ha $t=\frac{1}{4}$. Ekkor az eredeti két egyenlőtlenség összeadásával nyert $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{2}-2t}\end{array}$ egyenlőtlenségnek csak $x=y=\frac{1}{2}$ a megoldása; ami nyilván megoldása az eredeti két egyenlőtlenségnek is.