Kezdőlap


Feladat:	C.386	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1995/november, 472 - 473. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: C.386

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Próbálkozzunk először a csupa 1-esből álló számmal, ebből 10 darabot kell egymás után írnunk. Reményeinket megerősíti az a megfigyelés, hogy
1 darab 1-es esetén a szám négyzetében a jegyek összege 1,
2 darab 1-es esetén a szám négyzetében a jegyek összege 4,
3 darab 1-es esetén a szám négyzetében a jegyek összege 9,
4 darab 1-es esetén a szám négyzetében a jegyek összege 16,

tehát mindeddig igaz, hogy ha a jegyek összege $n$ , a szám négyzetében a jegyek összege $n^{2}$ .
Most vegyük a 10 darab 1-esből álló szám négyzetét:

\begin{matrix} 1 111 111 111^{2} = 12 345 678 900 987 654 321. \end{matrix}

Itt a jegyek összege csak 90. A bajt az okozza, hogy a 10. részletösszegben 10 darab 1-es áll egymás alatt, s ezért a négyzetszámban fellép a nulla, ami a jegyek összegét csökkenti. A bajt úgy lehet kiküszöbölni, hogy a részletösszegeket ,,eltoljuk'', vagyis valahova (de nem középre) az 1-esek közé 0-t (esetleg 0-kat) írunk; ez az eredeti szám jegyeinek összegét nem befolyásolja. Álljon a 0 pl. a 4-ik helyen, és végezzük el a négyzetreemelést.

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdot & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 6 & 6 & 7 & 8 & 9 & 8 & 7 & 6 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} \end{matrix}

Itt a jegyek összege valóban 100.
A feladat kérdésére a válasz igen, van a feltételeket kielégítő szám, nem is egy.

Megjegyzés. Az már nehezebb kérdés, van-e másféle (nem csupa 1-esből álló) szám, ami eleget tesz a feltételeknek. Igen, például ilyen a

\begin{matrix} 2 000 020 002 022^{2} = 4 000 080 008 488 080 884 088 484. \end{matrix}

Arra azonban, hogy általában melyek a megfelelő számok, nem tudunk válaszolni.