Kezdőlap


Feladat:	C.385	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Badacsonyi Bence , Borbély Eszter , Lőrinczi Ferenc , Majlender Péter , Németh László , Terpai Tamás
Füzet:	1995/november, 471 - 472. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Kamatos kamat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/február: C.385

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $100 000$ Ft-ot évi 20 %-os kamatra 5 évre beteszünk a bankba, az ötödik év végén

\begin{matrix} 10^{5} {(1 + \frac{1}{5})}^{5} = 6^{5} \cdot 2^{5} = 248 832 Ft-ot \end{matrix}

kapunk vissza. Kérdés, ugyancsak 20 %-os kamatra mekkora összeget kell minden év elején betenni a bankba, hogy a fenti összeget kapjuk kézhez?
Ha

B

Ft-ot helyeztünk el, az első év végén

1,2 B

forintunk lesz, ekkor megint berakunk

B

Ft-ot. Ekkor a második év végén

(B + 1,2 B) \cdot 1,2 = 1,2 B + 1, 2^{2} B

forintunk lesz, és így tovább, az ötödik év végére

\begin{matrix} 1,2 B + 1, 2^{2} B + 1, 2^{3} B + 1, 2^{4} B + 1, 2^{5} B = B (1,2 + 1, 2^{2} + 1, 2^{3} + 1, 2^{4} + 1, 2^{5}) . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy a zárójelben annak a mértani sorozatnak az összege áll, amelynek első tagja és hányadosa is

1,2

. Így a mértani sorozat összegképlete és a feltétel alapján felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} B \cdot 1,2 \cdot \frac{1, 2^{5} - 1}{1,2 - 1} = 248 832, \end{matrix}

ahonnan rendezés után

\begin{matrix} B = \frac{248 832}{6 (1, 2^{5} - 1)} = 27 864,98. \end{matrix}

Ennyi forintot kell tehát minden év elején a bankba helyeznünk.

Németh László (Jászapáti, Mészáros L. Gimn., IV. o.t.)