A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először vizsgáljuk meg, mit mondhatunk a pont helyzetéről. Tegyük fel, hogy a pont a háromszög belsejében van, és legyen pl. -tól 2, -től 3, -től 5 egységnyire. Mivel a háromszög szabályos, egyik csúcsának sincs kitüntetett szerepe. A pont az 1. ábrán a körüli 5 egység, körüli 3 egység, körüli 2 egység sugarú körök közös pontja. Mivel , csak úgy lehet a háromszög belsejében, ha , azaz a háromszög oldala hosszabb 5 egységnél, de akkor az és körüli 2 és 3 egység sugarú köröknek nem lehet metszéspontjuk. tehát nem lehet belső pont. Hasonlóan látható be, hogy nem lehet az , oldalakon sem. Ha pl. az szakaszon lenne, akkor az és körüli körök metszéspontja lenne, ami azt jelentené, hogy egység, de akkor nem lehetne -től 5 egységnyire. tehát csak a háromszögön kívül helyezkedhet el. A feladat további részére három különböző megoldást mutatunk be.
I. megoldás. Helyezzük el a szabályos háromszöget egy derékszögű koordináta-rendszerbe úgy, hogy az csúcsa az origóba, az oldalegyenese az tengelyre essék. A háromszög oldalának hosszát jelölje , ekkor a csúcsok koordinátái , , . Legyenek a pont koordinátái , és , , , amelyeket koordinátákra felírva az | | egyenletrendszert kapjuk. Elvégezzük a négyzetreemeléseket és összevonásokat: | | -ből -et behelyettesítve -be, majd a -be: | | és most kapott kifejezéseit -be helyettesítve az alábbi negyedfokú egyenletet kapjuk -ra: ahonnan a háromszög oldala egység.
Bakonyi Zoltán (Bp., Veres Péter Gimn., IV. o.t.) |
II. megoldás. Rajzoljuk meg az háromszöget és a rajta kívül fekvő pontot, amelyre , , . Forgassuk el a háromszöget a pont körül -kal úgy, hogy elforgatottja, az pontba kerüljön, képe . Így , a háromszög egyenlő szárú, és mivel , így is -osak. Tehát a háromszög egyenlő oldalú, . De , vagyis , , egy egyenesbe esik, és . Az háromszög oldalára írjuk fel a koszinusztételt: ahonnan , amint azt már az előbb is láttuk.
Fazekas Péter (Bp., Apáczai Cs. J. Gimn., III. o.t.) |
III. megoldás. A Ptolemaiosz-tétel azt mondja ki, hogy egy húrnégyszögben az átlók szorzata egyenlő a szemközti oldalpárok szorzatainak összegével. A tétel megfordítása is igaz, vagyis ha egy négyszög átlóinak szorzata egyenlő a szemközti oldalpárok szorzatainak összegével, akkor a négyszög húrnégyszög. (A tétel és bizonyítása megtalálható pl. H. S. M. Coxeter‐S. L. Greitzer: Az újra felfedezett matematika, 74. old., Gondolat Kiadó, Budapest, 1977.) Esetünkben , vagyis húrnégyszög, és mivel , . A háromszögben írjuk fel a koszinusztételt:
| | így .
Zaupper Bence (Győr, Krúdy Gy. Szki., III. o.t.) |
|